数学教学中如何用类比方法

‘壹’ 数学类比法的介绍

特指类比法在数学教学中的应用。在数学教学中应用类比法，可帮助学生理解各种概念、性质、定理、公式等，既有助于学生加深认识与记忆，也有助于激发学生的学习兴趣。

‘贰’ 中学数学中常见得几种类比法

1、降维类比
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。
2、结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
3、简化类比
简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法。比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。

‘叁’ 数学类比推理的运用

类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。
（一）不同知识点之间的类比
数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。
1、立体几何中的类比推理
【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为： 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为： 。
【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想
（证明略）
评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。
【例2】在 中有余弦定理： 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱 的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明。
【分析】根据类比猜想得出 其中 为侧面为 与 所成的二面角的平面角。
证明：作斜三棱柱 的直截面DEF，则 为面 与面 所成角，在 中有余弦定理： ，同乘以 ，得

即
评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
【例3】 在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？
解析 “正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。
如图1，设边长为 的正三角形 内任一点
到其三边的距离分别为 、 、 ，
将 分割成三个小三角形
，
则有 ，
即距离之和为正三形的高（定值）。
类似地，如图2,设棱长为 的正四面体
内任一点 到四个面的距离分别为
、 、 、 ，将正四面体分割成以 为顶点，
以四个面为底面的小三棱锥，则有
，
于是
。
所以 为定值。
【例4】 在平面几何中，有勾股定理：设 的两边 、 互相垂直，则 。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可得出的正确结论是：“设三棱锥 的三个侧面 、 、 两两互相垂直，则 。”
答案为 。
类比不仅可以提供探求新背景下结论的思路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。将平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章的感觉。
2、解析几何中的类比推理
【例5】已知两个圆： ① 与 ②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 。
【分析】将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：
设圆的方程为 ③与 ④，其中 或 ，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程。
评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
3、数列中的类比推理
【例6】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列 ，是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为 ，这个数列的前n项和 的计算公式为 。
【分析】由等和数列的定义，易知 故
当n为偶数时， ；当n为奇数时，
评注 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。
4、函数中的类比推理
【例7】设函数 ，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得 的值 。
【分析】此题得用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算
∵
∴
发现 正好是一个定值，∴ ，∴
评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的老本放在了突出的位置。本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题。这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。
5、排列组合中的类比推理
【例8】已知数列 （n为正整数）的首项为 ，公比为的q等比数列。
（1）求和：
（2）由（1）的结果，归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。
【分析】本题由（1）的结论，通过大胆猜测，归纳猜想出一般性的结论：
（1）

（2）归纳概括的结论为：若数列 是首项为 ，公比为q的等比数列，则
（证明略）
评注 本题主要考查探索能力、类比归纳能力与论证能力，突出了创新能力的考查；通过抓住问题的实质，探讨具有共同的属性，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
6、新定义、新运算中的类比
【例9】若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即 ，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是 。
【分析】由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住 ，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“+”，则可容易得到
正确的结论还有： 等。
【例10】对于直角坐标平面内的任意两点 ，定义它们之间的一种“距离”：
给下列三个命题：
①若点C线段AB上，则 ;
②在 中，若 °，则 ;
③在 中，
其中真命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【分析】对于直角坐标平面内的任意两点 定义它们之间的一种“距离”： ①若点C在线段AB上，设C点坐标为 ， 在 、 之间， 在 、 之间，
则 ③
在 中，

∴命题①成立，命题③错误。而命题②在在 中，若则 明显不成立，选B。
【例11】设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 ，都有
（除数 ）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，数集 也是数域。有下列命题：
①整数集是数域；
②若有理数集 ,则数集M必为数域；
③数域必为无限集；
④存在无穷多个数域。
其中正确的命题的序号是 。（把你认为正确的命题的序号都填上）
【分析】①错。4,5是整数，但 不是整数。②错。设M由有理数集合Q和元素 组成，则1, ，但是 不属于M。③正确。设 ，其中一个必定不等于零，设 ，则 ，所以 所以 ，所以 所有负整数都属于P，而负整数有无穷多个，所以③正确。④正确。把数域 中的 改为 ，仍是数域，有无穷多个。
故应填③④。
（二）数学知识与实际生活问题的类比
学生在处理常规数学问题时较易上手，而对有生活背景的问题则“怵”。数学知识与生活问题本身存在这样那样的联系，如果注意挖掘，那么对于培养学生的应用意识是十分有利的。
【例12】从1楼到2楼总共有20级台阶，如果规定每步只能跨上一级或二级，问从1楼爬上2楼共有几种不同的走法？
解析 这是生活中常见的一个问题，直接思考觉得走法太多，所以思考这个问题能否在数学中找到相应的模型，记上第 级台阶共有 种方法，若想上第20级台阶，则可从第18级跨两级或从第19级跨一级而到达，所以 ，类似地 ，… .注意到 ，运用以上递推关系（斐波那契数列），逐项计算得 ，那上2楼共有10946种方法。
生活中的不少问题往往可以找到其数学根源，通过思考将这种联系（数学模型）挖掘出来，就把生活中的问题与数学知识、方法进行了类比，有意识在引导或发现这种思考方法，有利于增加学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。
（三）结束语
讲解双曲线的性质时常用椭圆的性质来类比，讲解等比数列的时候用等差数列来类比。不仅数学知识如此，实际上惠更斯提出的波动说，就是与水波、声波类比而受到的启发。英国医生詹纳发现的种牛痘可以预防天花，就是从挤奶女工感染了牛痘而不患天花中得到启发，从树叶的锯齿形状发明了锯，从雄鹰的飞起到制造飞机上天等，总之，类比思想方法博大精深，能够收到严格逻辑推理所不能达到的效果，它能提高人们的数学素质，改善思维品质，既富有创造性，又让人产生柳暗花明又一村的美感。

‘肆’ 如何用类比思想进行中学数学教学

3、类比思想
类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。如讲授乘法分配律时，教师出示：(45＋25)＋13○45＋(25＋13),让学生猜猜它们的结果可能会怎样？再出示：(36＋18)＋22○36＋(18＋22),大胆猜猜一下，这两题的结果会怎样？你为什么这么肯定？理由是什么？仔细观察这些等式，你有什么发现？这样的发现会不会是巧合？如果换成其他的加数是否也存在着这样的规律？然后请每个同学再模仿写一个，进行验证。最后让学生用a、b、c三个字母把自己的发现表示出来。由于学生学习了加法交换律后，学生就能很容易用字母来表示加法结合律了。教师归纳总结出(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。类比思想还可以应用到长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形的面积公式。
4、转化思想方法
转化就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
例如：上“整十、整百相乘”一课时，先让学生观察，然后问一问，能不能把整十相乘转化为我们以前所学过的几乘与几，这样学生不仅很快能掌握新学得知识，还可以自己解决整百相乘。我想这是不是再渗透转化思想方法呢？
5、符号化思想方法
符号化思想是新课程的一个重要理念。数学的符号化能够不分国家和种族；符号化思想以浓缩的形式表达大量信息；加快了数学思维的速度。小学数学中有数字符号、运算符号、关系符号、单位符号、约定符号等。单位符号有厘米（cm）、米（m）、分米（dm）、毫米（mm）、千米（km）、千克（kg）、克（g）、吨（t）、平方米（㎡ ） 、平方分米 （d㎡ ）、平方厘米（c㎡ ） 、立方厘米（c m3
）、立方分米（dm3
）、 立方米（m3
）、毫升（mL）、升（L）。运算符号：＋ － × ÷。关系符号：= ＜ ＞ ≈ ≠。约定符号：% ℃ ∠ 。数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。使数学学习简单、明了。

‘伍’ 初中数学方法大全（比如类比法）

待定系数法，配方法，消元法，执果索因法，反证法，淘汰法，换元法，分类讨论法，数学归纳法，描点法，类比法，转换法，化归法，归纳法，概括法，猜想法，方程法，函数法，同一法，
求差法，求商法，求和法，求积法，整体代入法，降次法，图像法，坐标法，完全归纳法，
不完全归纳法，公式法，因式分解法。

‘陆’ 如何应用比较方法进行数学教学

小学数学中很多内容既有联系又有区别，如果教师在教学中充分运用比较的方法，将有助于帮助教师突出课堂教学重点，突破教学难点，使学生容易接受新知识，从而提高课堂教学的有效性，发展学生的数学素养和能力。比较能使学生在识同辨异的过程中，深刻认识事物的各种属性，便于抽象、概括，达到对事物的本质的认识。我在小学中、高年级的数学教学中，充分运用比较的方法，使学生学得轻松、愉快，学得扎实，从而有效地提高学习效率。下面结合笔者的研究与实践，浅谈在小学数学中如何更好地运用比较法。
1、 联系新旧知识之间的同异，分析比较它们的联系和区别。
当原有知识能促进新知识的理解，起到正迁移作用时，运用比较法教学，能使学生主动地利用旧知识去认识新知识。这种比较有两种情况：一是在引入一个新知识之前，教师首先要分析清楚这个知识是建立在哪些已学的数学知识基础上，然后从复习旧知识的过程中，自然地引出新知识，使学生明确新旧知识之间的区别与联系，为准确理解新概念打下坚实的基础。如：在教学“一个数乘以分数的意义”时，这是整数乘法意义在分数范围内的引申。教师先提出（1）1桶油重多少千克，3桶油重多少千克？（2）1桶油重100千克，桶油重多少千克？，桶油重多少千克？这样就借助了“求一数的几倍是多少？用乘法”。把倍数从整数概念拓宽为分数，让学生通过比较推理，得到“求一个数的几分之几也是用乘法”这样就顺里成章地推导也了“一个数乘以分数的意义”，就是“求这个数的几分之几是多少的概念。
2. 通过对比练习，区分相近知识间的相同于不同。
学生掌握概念需要有一个分析、思考、加工、整理的过程，通过对两个事物的属性对照比较，能够看出相同中的相异处，相异处的共同点，从而进一步认识这两个事物的本质。学习新课之后，不仅要集中练习所学的内容，还要带练以前学过的内容，特别要带练与心学内容相似而易混淆的题目，使学生既能深刻理解新的知识，又能掌握新旧知识之间的“同”和“异”，区别应用。因此，设计对比题，可以提高学生的辨别能力，如：1、一根电线长6米，用去1/3，还剩下多少米？2、一根电线6米，用去1/3米，还剩多少米？这两题是形同实异，让学生比较分析、正确地解答。再如练习“归一应用题”，应带练“归总应用题”；学完“连除应用题”后的练习，也应有“连乘应用题”的题目。通过比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。
3. 将同一类的知识进行类比，通过概括和总结，区分同异。
这其实就是把同一类题型进行比较，这是教师在课堂教学中使用最多的一种方法。对不同层次的同类知识的内在联系进行横向比较，可达到理解知识系统化的目的。例如：除法中商不变的性质，分数的基本性质和比的基本性质分散在三、四、五年级三个阶段。这些知识在不同层次上与不同范围内可以自成系统。但是，它们之间又彼此联系。这三个性质形式上不一样。但反映事物本身的属性是相通的。例如在教学中将除法、分数和比的概念列表比较，让学生找出三者之间的相互联系与区别，从而使学生更深入地了解这三个概念的本质，进一步深化对这三个概念的认识。具体地说，就是以学生已学过的同类题目为基础，与新讲的知识进行比较，以引导学生发现所学知识的个性或共性。
综上所述，在小学数学教学中适时、恰当地运用比较法，不但能使学生学得轻松、愉快，更能有效地提高课堂上的学习效 率，从而提升学生的数学素养，提高课堂教学的实效性。

‘柒’ 类比的数学类比

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．
运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比．
【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于1。
【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图，易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于1以此方法即可获得解本题的思路。
证明：如图，正四面体 ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，G
为△BCD的中心，MN∩AG=O．显然O是正四面体ABCD的中心．易知OG=·AG=，并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于，其球O必包含S．现证明如下。
根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG．设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球O内，现证P亦不在S内。
若球O交OC于T点。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos（π-∠TOM)=-。由余弦定理：
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=，∴TN=。
又在 Rt△AGD中，N是AD的中点，∴GN=。由GN= NT=， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均为钝角．
于是显然在△GOC内，不属于球O的任何点P，均有∠PON>；∠TON，即有PN>TN=，P点在 N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S．
由此可见，球O包含六个球的交集S，即S中不存在两点，使其距离大于． 某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．
【例3】任给7个实数xk（k=1，2，…，7)．证明其中有两个数xi，xj，满足不等式0≤≤·
【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tanαk（k =l，2，…，7），证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tan（αi-αj）≤·
证明：令xk=tanαk（k =l，2，…，7），αk∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj∈（-，），满足0≤tan（αi-αj）≤·
由抽屉原则知，αk中必有 4个在[0，）中或在（-，0）中，不妨设有4个在[0，）中．注意到tan0=0，tan=，而在[0，）内，tanx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0<；αi-αj <即可。为此将[0，）分成三个小区间：[0，]、（，]、（，）。又由抽屉原则知，4个αk中至少有2个比如αi，αj同属于某一区间，不妨设αi>；αj，则0≤αi-αj ≤，故0≤tan（αi-αj）≤·这样，与相应的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤≤· 简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法．比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等．
【例4】已知xi≥0（i=1，2，…，n），且xl+x2+…+xn=1。
求证：1≤++…+≤．
【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题：“已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求证1≤+≤”．本类比题的证明思路为：∵2≤xl+x2=l，∴0≤2≤1，则1≤xl+x2+2≤2，即1≤（+)2≤2，∴1≤+≤．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法．这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．
证明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，则
0≤2≤（n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n，即1≤（++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i=1，2，…，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P．
如果=M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．
如果是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．
本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解．
【例5】证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十．
【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形，其周长恰为4，对角钱之和为2即．其次考察面积为1的菱形，若两对角线长记为l1、l2，那么菱形面积S=l1·l2，知
l1+ l2≥2=2=，菱形周长：l=4≥2=4。
由此，可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑．
【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形，其有关线段及角标如图．则
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h）≤，
∴e+f+g+h≥2，即对角线长度之和不小于．
∴a+b+c+d≥4，即周长不小于4．
综上所述，结论得证，

‘捌’ 浅谈类比法在初中数学教学中的应用

摘要：数学类比和对比法是数学教学中常用的一种重要方法，文章通过实例阐述数学类比和对比法在初中数学教学中的应用。

数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解?有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍稍变换一下，就不知所措，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。掌握一种新的思考方法要比学会解几道具体习题更为重要，这些解题方法和技巧是进一步学习数学不可缺少的工具，数学方法的学习，在数学学习中起到事半功倍的效果，本文就数学类比和对比法在初中教学中的具体应用进行阐述。

类比是根据两个对象有一部分性质类似，推出与这两个对象的其他性质相类似的一种推理方法。因此，类比是从特殊到特殊的推理。通过类比，可以发现新旧知识的相同点，利用已有的旧知识，来认识新知识。

对比是通过比较，找出一事物区别其他事物的特点，通过对比可以找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解。

类比和对比这两种方法是相辅相成的，都是通过新旧知识的相互联系，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质。

例如：在学习分式这章时，关键是要用与分数类比的方法导出分式概念，分式基本性质与分式的四则运算法则，这样新知识易为学生接受与掌握，具体操作如下：

首先，复习小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式.如3÷4= ,(-7)÷2=- ,5÷(-9)= ， 一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零，为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数，分数有正分数、负分数，如果分子等于零，只要分母不是零(不论是正数还是负数)，这个分数的值就是零。把分数的概念引伸到代数式来，如 这两个式子有什么特点?(1)分式由分子、分母与分数线构成；(2)分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然地引入了分式的概念，接着，指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在讲分式的基本性质时，先复习分数的基本性质，推想分式的基本性质，我们来看如何做不同分母的分数的加法： ； ，这里先将异分母化为同分母， ，这是根据什么呢?根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(

或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，因此，分式应该有 ，这里，A、B、M是整式，根据分式的概念应该要求B 0，由分数的基本性质应该想到M 0 。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

第三，分式的四则运算顺序也可以类比分数进行，先做括号内的运算，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算，这个顺序和步骤正是分式四则混合运算的顺序和步骤。概括地说是：“先乘除，后加减、括号内先进行”。

在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值K＝l时的特例，全等与相似条件的比较：

(1)两角相等——两三角形相似

两角相等，夹边相等——两三角形全等；

(2)两边成比例、夹角相等——两三角形相似

两边相等，夹角相等——两三角形全等；

(3)三边对应成比例——两三角形相似

三边对应相等——两三角形全等。

此外，在多项式除法与多位数除法，因式分解与质因数分解：开立方与开平方，中心对称与轴对称；分比定理与合并定理；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比和对比进行教学，这种数学方法的教学，学生在学习过程中能较轻松地接受新知识，在实践中也证明，这种类比和对比的数学方法，学生掌握的知识扎实，理解也较好。当然，类比和对比只能用来帮助我们建立猜想，作为研究问题的线索。