不等式的解题方法与技巧

‘壹’ 不等式解题技巧高中

高中数学经典的解题技巧和方法（不等式）

【编者按】不等式是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试解答题的必选，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用逻辑用语的经典解题技巧。

首先，解答不等式这方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：

1．不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2．一元二次不等式

（1）会从实际情境中了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

3．二元一次不等式组与简单线性规划问题

（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

（2）了解二地一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

（3）会从实际情境中抽出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

4．基本不等式：

（1）了解基本不等式的证明过程。[来源:学科网]

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

好了，搞清楚不等式的基本内容之后，下面我们就看下针对这方面内容的具体的解题技巧。

一、不等式的求解问题

考情聚焦：1.求不等式解集及构建不等求参数取值范围问题是高考中对不等式考查的一个重要考向,每年高考均有重要体现。

2.常考查一元二次不等及可转化为一元二次不等式的简单分式不等式、指数、对数不等式的解法。以选择、填空为主，属中档题。

解题技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化为一般形式，再求相应一元二次方程的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集。

2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解。

3.解含参数不等的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因。确定分类标准、层次清楚地求解。

例1：（2010·全国卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .

【命题立意】本小题主要考查不等式及其解法

【思路点拨】首先将因式分解，然后将化为三个因式乘积的形式，

采用“序轴标根法”即穿根法求解集.

【规范解答】，

数轴标根得：

【答案】

二、不等式恒成立问题

考情聚集：1.不等式恒成立以及可转化为不等式恒成立的问题是近几年高考的热点，在各省市高考中占较大比重且点重要的位置。

2.常与函数的图象、性质、方程及重要的思想方法交汇命题，多以解答题的形式出现，属中档偏上题目。

解题技巧：求解不等式恒成立问题的常用思想方法：

1.分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解。

2.函数思想：转化为求含参数的最值问题求解。

3.数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上、下关系求解。

例2：已知二次函数f(x)满足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)对于x∈R恒成立.

(1)求f(1);

(2)求f(x)的表达式；

(3)设,定义域为D，现给出一个数学运算程序：

若xn∈D,则运算继续下去；若xnD,则运算停止.给出, 请你写出满足上述条件的

集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（满分13分）

解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,

∴f (1)=8.

(2)设f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.

又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,对x∈R恒成立,

∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.

(3)由g(x)=

由题意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5无意义，故D={,,-,-1}

三、线性规划问题

考情聚焦:1.线性规划是中学教材中仅有的几个具有实际应用操作的考点之一,又具有全面考查直线知识与数形结合思想的强大功能,是各省市高考的重点.

2.常与函数、直线、实际问题等交汇命题，多以选择、填空题形式出现。

解题技巧：1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围.

2.解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决.

例3: （2010·安徽高考文科·T8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（ ）

（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8

【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。

【思路点拨】由约束条件画可行域确定目标函数的最大值点计算目标函数的最大值

【规范解答】选C．约束条件表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别是，目标函数在取最大值6，故C正确．

【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．

四、利用基本不等式求最值问题

考情聚焦:1.利用基本不等式求函数最值是确定函数最值的重要方法,为近几年各省市高考的热点.

2.常与函数、解析几何、立体几何和实际问题交汇命题，多以中档题形式出现.

例4: （2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

(1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；

(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？

(3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

【解析】(1)

当时，,

, =

（2）当时，

由，故当即时，

甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。

（3）由（2）知：=

由得：，

令则，即：。

同理，由得：

另一方面，

当且仅当，即=时，取等号。由（1）知=时h甲=h乙

所以不能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。

‘贰’ 解基本不等式 的方法 （窍门）

加油！！
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习:
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).

‘叁’ 高中不等式解题方法与技巧

1、解决绝对值问题（化简、求值、方程、不等式、函数），把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。具体转化方法有：

（1）分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

（2）零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

（3）两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

（4）几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2、根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

3、利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。配方法的主要根据有：

4、解某些复杂的特型方程要用到:换元法。换元法解方程的一般步骤是：

5、待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。

‘肆’ 不等式的解题技巧

你要仔细审题，看题目中超过、不少于、少于等字分析不等式符号然后就要看你方程的基础，对了，有的不等式组，是方程和不等式联立的，可以代入解决，祝你成功（我也上初一哦）

‘伍’ 不等式选讲解题技巧

一、基础知识

1．含有绝对值的不等式的解法：

(1)|f(x)|>a(a>0)等价于f(x)>a或f(x)<－a；

(2)|f(x)|<a(a>0)等价于－a<f(x)<a；

(3)形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，一是可以利用零点法进行分段讨论，二是利用绝对值的几何意义求解，此法会更加简单。

2．含有绝对值的不等式的性质：

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

在利用这个性质解题时，一定要注意取“=”的条件是：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3.柯西不等式：

设a，b，c，d为实数，则(a^2＋b^2)·(c^2＋d^2)≥(ac＋bd)^2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

二、2018年高考真题赏析

不等式选讲在高考中的难度不大，但是对于基本概念要掌握牢固，防止计算错误。

‘陆’ 不等式的解题方法与技巧

不等式的解法：1、找出未知数的项、常数项，该化简的化简。2、未知数的项放不等号左边，常数项移到右边。3、不等号两边进行加减乘除运算。4、不等号两边同除未知数的系数，注意符号的改变。
1.符号：

不等式两边都乘以或除以一个负数，要改变不等号的方向。

2.确定解集：

比两个值都大，就比大的还大；

比两个值都小，就比小的还小；

比大的大，比小的小，无解；

比小的大，比大的小，有解在中间。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

3.另外，也可以在数轴上确定解集：

把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。带=号的，数轴上的点是实心的，反之，就是空心的。

用符号“>”“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
其中，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域。
整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。
一元一次不等式：含有一个未知数(即一元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。如3-x>0
同理，二元一次不等式：含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式。
①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）
②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）
③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；[1] （乘法原则）
⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)
⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；
⑦如果x>y>0，xn>yn（n为正数)，xn<yn（n为负数）;
或者说，不等式的基本性质的另一种表达方式有：
①对称性；
②传递性；
③加法单调性，即同向不等式可加性；
④乘法单调性；
⑤同向正值不等式可乘性；
⑥正值不等式可乘方；
⑦正值不等式可开方；
⑧倒数法则。
如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式。
另，不等式的特殊性质有以下三种：
①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

‘柒’ 不等式的解题方法

很简单，奥数老师对我们说——给我细心地凑

‘捌’ 初中不等式的解题方法与技巧有哪些

可利用不等式的三个性质

1、不等式两边同时加或减一个数或一个式子，不等式仍然成立。

2、不等式两边同时乘或除一个正数，不等式仍然成立。

3、不等式两边同时乘或除一个负数，不等号要发生改变。

基本性质

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）

‘玖’ 不等式方程解题方法

根据题意
有方程缩对应的函数图像与X轴有交点，所以a*a-8>=0
有其跟小于-1，所以
-a/2<-1
联合求解得：a>2=2根号2

‘拾’ 基本不等式的解题技巧

基本不等式中：
一正：正数
二定：为定值
三相等：何时取等号
例：a+b≥2√ab
一正：a,b均为正数
二定：ab为一定值
三相等：当a=b时，不等式才能取等号。