数学分析原理与方法

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书名：数学分析原理

作者：[美] Walter Rudin

译者：赵慈庚

豆瓣评分：9.2

出版社：机械工业出版社

出版年份：2004-01-01

页数：304

内容简介：

《数学分析原理》是一部现代数学名着，一直受到数学界的推崇。作为Rudin的分析学经典着作之一，该书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响，被许多高校用做数学分析课的必选教材。全书涵盖了高等微积分学的丰富内容，精彩的部分集中在基础拓扑结构、函数项序列与级数、多变量函数以及微分形式的积分等章节。第三版经过增删与修订，更加符合学生的阅读习惯与思考方式。

作者简介：

Walter Rudin 1953年于杜克大学获得教学博士学位。曾先后执教于麻省学院、罗切斯特大学、威斯康星大学麦迪逊分校、耶鲁大学等。他的主要研究领域集中在调和分析和复变函数。除 Principles of Mathematical Analysis 外，他还着有 Functional Analysis 和 Real and Complex Analysis 两本名着，这些教材已被翻译成13种语言，在世界各地广泛使用。

⑵ 数学分析

不错的教材有：中科大史济怀《数学分析教程》（习题难度较大，网上有史济怀给科大少年班上这本书的视频，可以看看，很不错），
复旦陈纪修《数学分析》，
北大张筑生《数学分析新讲》（以泛函的观点来写数分，不错），
北大周民强、方企勤《数学分析》（看过周民强实变函数论的人很多，但是看过他数分的就不错了，因为他的数分教材已经没有再出版，只有北航、北大等学校用复印版，周民强老兄最喜欢玩技巧，所以这本书难度不小），
复旦欧阳光中《数学分析》（很老的教材），
南大梅加强《数学分析》（梅加强老师这本书分析味很浓，技巧性强，值得推荐），
国外的不错的有：菲赫金哥尔兹《微积分教程》（老一辈数学工作者没有不知道的），卓里奇《数学分析》（内容丰富，清华用此书作为教材，功底不够，看着书是在找虐），阿黑波夫《数学分析讲义》，Rudin《数学分析原理》（华师的教材别看了，太垃圾）
强烈推荐辛钦的《数学分析八讲》（齐民友翻译）！
辅导书：谢惠民《数学分析习题课讲义》，周民强《数学分析习题演练》，裴礼文《数学分析中的典型问题和方法》，至于吉米多维奇，建议看由谢惠民等人翻译的那套，其余的都太垃圾，特别是华科出版的那套，比起工科高数还不如

⑶ 常用的数学分析方法有哪些

1．避免“一步到位”
是指解题过程中，省略关键步骤，而直接得到答案，这样扣分是严重的．由于解答题是严格按照步骤给分的，如果解题过程中失去关键步骤，跳过拟考查的知识点、能力点，就意味着失去得分点，自然被扣分.
例1(2000年全国高考题) 已知函数y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(II) 该函数的图像可由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(I)由题设可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
当 x= ＋k ，k∈Z，函数y取得最大值．
(II) 略．
评注：在(Ⅰ)的解答中犯了“大题小作”中的“一步到位”错误，缺少了化简过程的3个要点与何时取到最大值的1个要点，因而被扣分.
2． 避免“使用升华结论”
在解选择和填空题中，使用升华结论(教材中未给出的正确结论)是允许的，而且还是一种简捷快速的答题技巧．而直接运用(不加说明或证明)在解答题中是不合适的，且是“大题小作”，要适当扣分的.
解答高考解答题的理论根据应该是教材中的定义、定理、公理和公式，而学生使用“升华结论”则达不到考查能力、考查过程的目的，因此不能以题解题，不能直接运用教材以外别的东西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全国高考题) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
⑵(2001年全国高考题) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
评分标准中指出：
对于⑴：“利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函数的性质，未证明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函数而直接写出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能证明为什么 － ＜0过程，由评分标准知最多得3分．
对于⑵：有些考生证明时，直接运用课本中的引申结论“y1 y2＝p2”而跳过拟考查的知识点、能力点而被扣2分.
对于课本习题、例题的结论，是要通过证明才能直接使用(黑体字结论例外)，否则将被“定性”为解题不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全国高考理科第17(Ⅱ)利用面积射影定理，由于不加证明而直接使用，因而被扣分.
3 避免“答非所问”
是指没有根据题意要求或没有看清题意要求，用其它方法或结论作答，这明显也要被扣分的.
例3(1993年全国高考题)已知数列
Sn为其前n项和．计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．
解：依据题意，推测出Sn的公式为：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分别取k＝1，2，3，…，n，并将n个式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
评注 以上解法可谓“简单、明了”，但证明时不用数学归纳法，为“答非所问”，不合题意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22题(应用题)，第(Ⅰ)问中求“冷轧机至少需要安装多少对轧辊”，要求是用整数作答，不少考生未能用整数作答，违背题意而被扣分.
(四)了解“评分标准”，把握得分点
掌握解答题的“得分点”就要了解高考的评分标准，解答题评分标准是分步给分，但并非写得越多得分越高，而是踏上得分点就给分，即按所用的数学知识，数学思想方法要点式给分，允许“等价答案”，允许“跳步得分”. 因此解答时，应步骤清，要点明，格式齐. 对于不同题型的给分规律有：
1．立几题得分点
通常分作证，计算两部分给分，各段中间又按要点给分.证明主要写清两点：①空间位置关系的判断推理的依据(课本中的定理、公理)；②什么是空间角和距离及理由(紧扣定义). 特别要注意没有写清角、距离要被扣分. 计算过程的书写：计算一般是解三角形，要写清三角形的条件及解出的结果. 用等积法解题，要找出等积关系并计算. 都是分段得分的，如1998年23题，1999年22题，都有3个小题，每小题4分，其中作证2分，计算2分.
2．分类讨论题得分点
按所分类分别给分，加上归纳的格式(即写为“综上：当××时，结论是××”)分. 如1996年第20题，按a＞1和0＜a＜1两类分别给5分，归纳给1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范围，使函数在区间[0，＋∞)上是单调函数，按 a≥1和0＜a＜1讨论各得2分.
3．应用题得分点
按设列、解答两部分给分. 特别要注意不答和答错都要扣1分，应注意设、列、解、答的完整性，争取步骤阶段分.
4．推理证明题得分点
按推理格式，推理变形步骤给分. 对于用定义证明函数的单调性、奇偶性，用数学归纳法证题，都有严格的格式分，应完整，避免失分. 即使推理证明不出，宁可跳步作答，也要套用格式. 从条件、结论两头往中间靠，这样写完格式，这样可以少扣分.
5．综合题得分点
按解答的过程，分步给分，每个步骤又按要点给分. 尽可能把过程分步写出，尽量不跳步，根据题意
列出关系，译出题设中每一个条件，能演算几步算几步，尚未成功不等于失败，特别是那些解题层次分明的题目，那些已经程序化的方法，每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有算出来，但分数已过半，所以说，“大题拿小分”也是一个好主意. 因此尽量增加分步得分机会，千万别轻易留空白题.
(五)常用的解答题解题技巧
1.较简单的解答题的求解
对于比较容易解答的解答题(一般是前面3道),宜采用一慢一快的方法,就是审题要慢,解题要快,速战速决,为后面3道解答题留下时间.
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，罗唆重复，用阅卷老师的话，就是写出“得分点”，一般来讲，一个原理写一步就可以了。至于不是题目直接考查的过渡知识，可以直接写出结论，高考允许合理省略非关键步骤，应详略得当。
例2004北京理科第15题
在 中， ， ， ，求 的值和 的面积.
分析:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力
解：
又 ,

.

2.较难的解答题的求解
对于较难的解答题(后面3道)来说,要想在有限的时间内做全对是不大现实的.当然也不能全部放弃,应该尽可能的争取多拿分.对于绝大多数考生来说，在这里重要的是：如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，下面谈四个观点。
(1)、缺步解答
如果我们遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个明智的策略是：将它分解成为一个系列的步骤，或者是一个个子问题，能演算几步就演算几步，尚未成功不等于彻底失败，每进行一步得分点的演算就可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有得出来，但分数却已过半。因为近几年高考解答题的特点是：入口易完善难，不可轻易放弃任何一题。
例: (2004浙江理科第21题)已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为 由
得 .
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此， （不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为 .
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是（2+ ，1+ ），将P点坐标代入 得，

所以所求双曲线方程为
即
(2)、跳步解答
解题卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，我们再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”。由于高考时间的限制，“中途点”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”一定做到底。也许，后来中间步骤又想出来了，这时不要乱七八糟地补上去，可补在后面，可书写为“事实上，某步可证如下”。
有的题目可能设有多问，第一问求不出来，可以把第一问当成已知，先做第二问，这也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18题) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所选3人都是男生的概率为
(II)所选3人中恰有1名女生的概率为
(III)所选3人中至少有1名女生的概率为
这3道小题可以说是互相独立的,彼此不相干.所以如果第1小题做不来,可以跳过去,直接做第2小题.

(3)、退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略，如果你不能解决题中所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部。总之，退到一个你能够解决的问题，比如，{an}是公比为q的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若Sn成等差数列，求公比q=____.
对等比数列问题，我们需考虑到q=1，q≠1两种情况，你可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和情绪上的稳定后，再讨论q≠1时是否也满足题意，发现无解，如果对q≠ 1的情况你确实不会解，你还可以开门见山的写上：本题分两种情况：q=1或q≠1.
也许你只能完成一种情况，但你没有用一种情况来代替主体。在概念上、逻辑上是清楚的。另外“难的不会做简单的”还为寻找正确的、一般的解题方法提供了有意义的启发。
4、辅助解答
一道题目的完整解答，即要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如：准确的作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明时，第一步n的取值等，如果处理得当，也会增分，不要小视它们。
另外，书写也是辅助解答，卷面随意涂改及正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分。
所以，有人说，书写工整，卷面整齐也得分，不无道理。

⑷ 数学分析的理论基础

数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。

⑸ 数学分析包括哪些内容

又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多小有多小”、“无限趋向”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学分析”。
实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。

⑹ 什么是数学分析

《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。

从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。复旦大学有非常好的生源，吸引了众多优秀的学生，使得实现这一培养目标与要求成为可能。另一方面，许多优秀的学生受教学计划限制，学习的是《高等数学》这一课程。但他们对于学习《数学分析》以提高自己的数学修养有着强烈的愿望（其中一部分通过转专业成为数学类专业的学生）。我们推出的《数学分析原理》课程应运而生，为这一部分学生提供了一个恰当的学习提高机会。

⑺ 数学分析与实分析（实变函数）有什么关系

从教学实践上来说，一般是学完数分以后再同时学实分析（国内等价于实变）和复变（两者独立教学），学完复变之后再学复分析。但从逻辑关系上来说，不学数分直接学实变也是可以的，因为勒贝格测度和积分的定义实际上是独立于黎曼积分的，只是它整套机器更为庞大而已。

数学分析的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。

为微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

相关联系

微积分理论的产生离不开物理学，天文学，经济学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。

数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。

以上内容参考：网络-数学分析

⑻ 在哪里可以买到 胡适耕的 《数学分析问题 定理 方法》 和《 数学分析原理与方法》 或者有 电子版 也行

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⑼ 《数学分析原理》高中生能不能看懂

注重考法研究，把握中考动向。中考复习前，你们老师要进行考法研究，研究近几年中考数学命题的走向，研究考纲，研究中考复习策略。教研组要组织每位数学老师都进行专题发言。并制定出一套较好的复习计划。按照老师的要求去做。5、阅读过去作业和考卷上做错的题。多数初三学生都会有一本错题本，里面记录着做错的题目，复习时应该抽时间把错题本上的题目再详细看一遍或者做一遍，进行强化训练。6、有选择地做题。在学校老师会在课堂上让同学们做整套的模拟卷，那么在家里，可以有选择地做一些题目，班主任认为可以选择以下三类题做。第一类是初看还没有解题思路的；第二类是最近做错的；最后一类是自己以前做得比较慢的。这三类题往往是掌握得不太好的地方。做完后，还要从数学思想方法上进行总结，通过挖掘一些题的解法中的数学思想，收到举一反三的效果。

⑽ 数学分析主要讲什么内容

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数学[英语：mathematics，源自古希腊语μθημα（máthēma）；经常被缩写为math或maths]，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。