A. 正整数的分拆(入门介绍)
本文探讨了正整数的分拆，即一个正整数可被表示为若干个正整数之和的方法数。这个主题在数学分析中具有重要地位，首先我们引入了分拆函数，记为，它表示把正整数写成若干个正整数之和的表示方法数。例如，。
欧拉发现了一个与分拆函数相关的生成函数，该函数满足特定关系式。通过研究此生成函数，欧拉发现了一个分拆数的递推公式。根据这个递推公式，我们可以计算出所有分拆数。欧拉进一步发现了一个规律，该规律与分拆数的幂次之差有关。通过这个规律，可以推导出一个公式。
定理1.1由欧拉提出，阐述了正整数写成不同正整数之和的方法数等于写成正奇数之和的方法数。定理1.2，即Jacobi三积恒等式，由Jacobi提出，为解析数论中的基础工具。在定理的证明中，引用了徐利治《数学分析中的问题与方法》中的题解。
定理2.1，Hardy-Ramanujan定理，描述了分拆数的性质，证明使用了“圆法”。Ramanujan还提出了与Macmahon计算分拆数相关的一个同余式。Ramanujan的一般性猜想指出，如果满足某些条件，则有特定的分拆数性质。该猜想在模意义下被证明，但后来发现了一个例外情况，但结论被修正后成为正确命题。最后，Rogers-Ramanujan恒等式由Rogers与Ramanujan共同发现，其组合意义与分拆数紧密相关。
本文通过一系列定理和公式深入探讨了正整数分拆的性质与规律，展示了数学分析中的美妙与复杂性。通过欧拉、Hardy、Ramanujan等数学家的贡献，我们得以更深入地理解分拆数的内在结构与数学之美。