平面向量常用計算方法

『壹』 平面向量怎麼算

平面向量的計算一般有兩種方法，一種是直接利用幾何關系，在一種是利用坐標關系。利用幾何關系 AB+BC=AC （這里用粗體字表示向量）在坐標系中我們設A、B、C坐標為別是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)這樣得到AB=(x2-x1,y2-y1)，BC=(x3-x2,y3,-y2)，AC=(x3-x1,y3-y1)這樣AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3,-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC因此兩種演算法是統一的。在數學中，利用坐標解決向量問題更普遍。這樣，利用向量就建立了幾何和代數之間的關系，提供了一種利用代數解決幾何問題的方法。另外，向量和復數之間也是有一一對應關系的比如一個復數z=a+bi，（這里i表示虛數單位滿足i�0�5=-1），這樣z就對應著一個向量z=(a,b)，因此利用復數的計算也可以進行向量計算。利用復數計算向量的好處就是，對於向量的旋轉問題有比較簡單的演算法。根據歐拉公式復數z可以化成z=re^θ，其中r是z的模，θ是相角，也就是向量z和x軸正方向的夾角。若是把向量z逆時針轉45°角度，得到的向量就可以直接表示為re^(θ-π/4)，比利用向量的夾角公式要簡便許多。

『貳』 平面向量基本公式是什麼

平面向量基本知識
一、向量知識：
（1）叫做向量。
（2）向量的運算：
運算定義或法則運算性質（運算律）坐標運算
加法
減法
實數與向量的積
數量積
幾何意義：
（3）平面向量的基本定理：
如果和是同一平面內的兩個不共線的向量，那麼
。
（4）兩個向量平行和垂直的充要條件：
；
‖；
（5）夾角、模、距離等計算：
夾角：與的夾角
模：|＋|＝|－|＝
|＋＋|＝
模||＝兩點距離公式：|PP|＝向量||=
計算：求與＝(a，b)共線的單位向量
（6）線段的定比分點坐標公式：
設，且，則
時，得中點坐標公式：可推出三角形重心坐標公式：
（7）平移公式
點按平移到，則
點點P(a,b)點
曲線y＝曲線y＝f(x)曲線y＝
二、解斜三角形
（1）正弦定理：==
（2）餘弦定理：
（3）S＝＝＝
（4）解三角形的幾種類型及步驟：
①已知兩角一邊：先用→再用。
②已知兩邊及夾角：先用→再用。
③已知兩邊及一邊對角：先用（注意：解；內角和）
→再用。
④已知三邊：先用→再用。
（5）解應用問題的一般步驟：①→②→③→④

『叄』 求全部的平面向量的計算公式

9.平面向量

(1)平面向量基本定理，如果e1、e2是同一平面內非共線向量，那麼該平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.

①兩個向量平行的充要條件

a∥b⇔a＝λb

設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

a∥b＝x1x2－y1y2＝0

②兩個非零向量垂直的充要條件

a⊥b⇔a·b＝0

設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

a⊥b＝x1x2＋y1y2＝0

θ＝〈a，b〉.

cosθ＝x1x2＋y1y2/x21＋y21

x22＋y22

(2)數量積的性質：設e是單位向量，〈a，e〉＝θ

①a·e＝e·a＝|a|cosθ；②當a，b同向時，a·b＝|a||b|，特別地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔a·b＝0；④非零向量a，b夾角θ的計算公式：cosθ＝，當θ為銳角時，a·b＞0，且ab不同向，a·b>0是θ為銳角的必要非充分條件；當θ為鈍角時，a·b<0，且ab不反向，a·b<0是θ為鈍角的必要非充分條件；⑤|a·b|≤|a||b|.

『肆』 數學中關於平面向量的計算方法有哪些

平面向量主要注意加減兩種計算方式，弄清楚加法跟減法的計演算法則，做題的時候把圖給畫出來，這樣可以很快的做出題目。畫圖是很重要的一個計算步驟，沒畫圖，很多東西我們都「看」不到，只有把圖畫出來，我們才可以更快的看出裡面的玄機

『伍』 平面向量的運算公式

設a=（x，y）
b=(x'，y')

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則

AB+BC=AC

a+b=(x+x'，y+y')

a+0=0+a=a

向量加法的運算律

交換律：a+b=b+a

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量
那麼a=-b
b=-a
a+b=0
0的反向量為0

AB-AC=CB
即「共同起點，指向被減」

a=(x,y)
b=(x',y')
則
a-b=(x-x',y-y')

4、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量
記作λa
且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣

當λ＞0時
λa與a同方向

當λ＜0時
λa與a反方向

當λ=0時
λa=0，方向任意

當a=0時
對於任意實數λ
都有λa=0

註：按定義知
如果λa=0
那麼λ=0或a=0

實數λ叫做向量a的系數
乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮

當∣λ∣＞1時
表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍

當∣λ∣＜1時
表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa

數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb

數乘向量的消去律：①
如果實數λ≠0且λa=λb
那麼a=b
②
如果a≠0且λa=μa
那麼λ=μ

3、向量的的數量積

定義：已知兩個非零向量a
b
作OA=a
OB=b
則角AOB稱作向量a和向量b的夾角
記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量
記作a•b
若a、b不共線
則a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉
若a、b共線
則a•b=+-∣a∣∣b∣

向量的數量積的坐標表示：a•b=x•x'+y•y'

向量的數量積的運算律

a•b=b•a（交換律）

(λa)•b=λ(a•b)(關於數乘法的結合律)

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）

向量的數量積的性質

a•a=|a|的平方

a⊥b
〈=〉a•b=0

|a•b|≤|a|•|b|

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1、向量的數量積不滿足結合律
即：(a•b)•c≠a•(b•c)
例如：(a•b)^2≠a^2•b^2

2、向量的數量積不滿足消去律
即：由
a•b=a•c
(a≠0)
推不出
b=c

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由
|a|=|b|
推不出
a=b或a=-b

4、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量
記作a×b
若a、b不共線
則a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉
a×b的方向是：垂直於a和b
且a、b和a×b按這個次序構成右手系
若a、b共線
則a×b=0

向量的向量積性質

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積

a×a=0

a‖b〈=〉a×b=0

向量的向量積運算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

（a+b）×c=a×c+b×c

註：向量沒有除法
「向量AB/向量CD」是沒有意義的

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

①
當且僅當a、b反向時
左邊取等號

②
當且僅當a、b同向時
右邊取等號

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣

①
當且僅當a、b同向時
左邊取等號

②
當且僅當a、b反向時
右邊取等號

定比分點

定比分點公式（向量P1P=λ•向量PP2）

設P1、P2是直線上的兩點
P是l上不同於P1、P2的任意一點
則存在一個實數
λ
使
向量P1P=λ•向量PP2
λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比

若P1（x1,y1)
P2(x2,y2)
P(x,y)
則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)
（定比分點向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)

y=(y1+λy2)/(1+λ)（定比分點坐標公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

三點共線定理

若OC=λOA
+μOB
且λ+μ=1
則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式

在△ABC中
若GA
+GB
+GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ
使a=λb

a//b的重要條件是
xy'-x'y=0

零向量0平行於任何向量
[編輯本段]向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是
a•b=0

a⊥b的充要條件是
xx'+yy'=0

零向量0垂直於任何向量

『陸』 平面向量的運算是什麼

向量同數量一樣，也可以進行運算。向量可以參與多種運算過程，包括線性運算（加法、減法和數乘）、數量積、向量積與混合積等。

注意：

平面向量是在二維平面內既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

物理學中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。18世紀中葉之後，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導致了在19世紀中葉向量力學的建立。同時，向量概念是近代數學中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始於萊布尼茲的位置幾何。

現代向量理論是在復數的幾何表示這條線索上發展起來的。18世紀，由於在一些數學的推導中用到復數，復數的幾何表示成為人們探討的熱點。哈密頓在做3維復數的模擬物的過程中發現了四元數。隨後，吉布斯和亥維賽在四元數基礎上創造了向量分析系統，最終被廣為接受。

『柒』 平面向量的所有公式

1、加法

向量加法的三角形法則，已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、減法

AB-AC=CB，這種計演算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點、連中點、指被減。-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。

3、數乘

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa=0。用坐標表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

4、數量積

已知兩個非零向量a、b，那麼a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積，記作a·b。零向量與任意向量的數量積為0。數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

5、向量積

向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量OA=a，向量OB=b，向量積示意圖則∠AOB=θ 叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>。已知兩個非零向量a、b，那麼a×b叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即S=|a×b|。

6、混合積

給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。

(7)平面向量常用計算方法擴展閱讀

物理學中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。18世紀中葉之後，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導致了在19世紀中葉向量力學的建立。同時，向量概念是近代數學中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始於萊布尼茲的位置幾何。

現代向量理論是在復數的幾何表示這條線索上發展起來的。18世紀，由於在一些數學的推導中用到復數，復數的幾何表示成為人們探討的熱點。哈密頓在做3維復數的模擬物的過程中發現了四元數。隨後，吉布斯和亥維賽在四元數基礎上創造了向量分析系統，最終被廣為接受。

『捌』 平面向量的所有公式

向量同數量一樣，也可以進行運算。向量可以參與多種運算過程，包括線性運算（加法、減法和數乘）、數量積、向量積與混合積等。

下面介紹運算性質時，將統一作如下規定：任取平面上兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

加法

已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

用坐標表示時，顯然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等於這兩個向量相應坐標的和與差

三角形法則：AB+BC=AC，這種計演算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連接首尾、指向終點。

四邊形法則：已知兩個從同一點A出發的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點的對角線AD就是向量AC、AB的和，這種計演算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點 對角連。

對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法滿足所有的加法運算定律，如：交換律、結合律。

減法

AB-AC=CB，這種計演算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點、連中點、指被減。

-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。

數乘

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa=0。

用坐標表示的情況下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

設λ、μ是實數，那麼滿足如下運算性質：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(－λ)a=－(λa) = λ(－a)

|λa|=|λ||a|

數量積

已知兩個非零向量a、b，那麼a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積，記作a·b。零向量與任意向量的數量積為0。數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

兩個向量的數量積等於它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2

『玖』 平面向量基本公式是什麼

平面向量基本知識
一、向量知識：
（1）
叫做向量。
（2）向量的運算：
運算
定義
或
法則
運算性質（運算律）
坐標運算
加
法
減
法
實數與向量的積
數量積
幾何意義：
（3）平面向量的基本定理：
如果
和
是同一平面內的兩個不共線的向量，那麼
。
（4）兩個向量平行和垂直的充要條件：
；
‖
；
（5）夾角、模、距離等計算：
夾角：
與
的夾角
模：
|
＋
|＝
|
－
|＝
|
＋
＋
|＝
模|
|＝
兩點距離公式：|P
P
|＝
向量|
|=
計算：求與
＝(a，b)共線的單位向量
（6）線段的定比分點坐標公式：
設
，且
，則
時，得中點坐標公式：
可推出三角形重心坐標公式：
（7）平移公式
點
按
平移到
，則
點
點P(a,b)
點
曲線y＝
曲線y＝f(x)
曲線y＝
二、解斜三角形
（1）正弦定理：
=
=
（2）餘弦定理：
（3）S
＝
＝
＝
（4）解三角形的幾種類型及步驟：
①已知兩角一邊：
先用
→再用
。
②已知兩邊及夾角：先用
→再用
。
③已知兩邊及一邊對角：先用
（注意：解；內角和）
→再用
。
④已知三邊：先用
→再用
。
（5）解應用問題的一般步驟：①
→
②
→
③
→
④