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有限制排列條件的應用有哪些方法

發布時間:2023-02-03 15:48:58

㈠ 排列組合的所有方法有那些它們的做法又是如何做列如插空法等

排列組合問題的解題策略
關鍵詞: 排列組合,解題策略

一、相臨問題——捆綁法

例1.7名學生站成一排,甲、乙必須站在一起有多少不同排法?

解:兩個元素排在一起的問題可用「捆綁」法解決,先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列,並考慮甲乙二人的順序,所以共有 種。

評註:一般地: 個人站成一排,其中某 個人相鄰,可用「捆綁」法解決,共有 種排法。

二、不相臨問題——選空插入法

例2. 7名學生站成一排,甲乙互不相鄰有多少不同排法?

解:甲、乙二人不相鄰的排法一般應用「插空」法,所以甲、乙二人不相鄰的排法總數應為: 種 .

評註:若 個人站成一排,其中 個人不相鄰,可用「插空」法解決,共有 種排法。

三、復雜問題——總體排除法

在直接法考慮比較難,或分類不清或多種時,可考慮用「排除法」,解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構成元素的限制。

例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點共7個點,以其中3個點為頂點的三角形共有多少個.

解:從7個點中取3個點的取法有 種,但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形,有3條,所以滿足條件的三角形共有 -3=32個.

四、特殊元素——優先考慮法

對於含有限定條件的排列組合應用題,可以考慮優先安排特殊位置,然後再考慮其他位置的安排。

例4. (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念,若老師不排在兩端,則共有不同的排法 種.

解:先考慮特殊元素(老師)的排法,因老師不排在兩端,故可在中間三個位置上任選一個位置,有 種,而其餘學生的排法有 種,所以共有 =72種不同的排法.

例5.(2000年全國高考題)乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員,派5名隊員參加比賽,3名主力隊員要安排在第一、三、五位置,其餘7名隊員選2名安排在第二、四位置,那麼不同的出場安排共有 種.

解:由於第一、三、五位置特殊,只能安排主力隊員,有 種排法,而其餘7名隊員選出2名安排在第二、四位置,有 種排法,所以不同的出場安排共有 =252種.

五、多元問題——分類討論法

對於元素多,選取情況多,可按要求進行分類討論,最後總計。

例6.(2003年北京春招)某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單,開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中,那麼不同插法的種數為(A )

A.42 B.30 C.20 D.12

解:增加的兩個新節目,可分為相臨與不相臨兩種情況:1.不相臨:共有A62種;2.相臨:共有A22A61種。故不同插法的種數為:A62 +A22A61=42 ,故選A。

例7.(2003年全國高考試題)如圖, 一個地區分為5個行政區域,現給地圖著色,要求相鄰地區不得使用同一顏色,現有4種顏色可供選擇,則不同的著色方法共有多少種?(以數字作答)

解:區域1與其他四個區域相鄰,而其他每個區域都與三個區域相鄰,因此,可以塗三種或四種顏色. 用三種顏色著色有 =24種方法, 用四種顏色著色有 =48種方法,從而共有24+48=72種方法,應填72.

六、混合問題——先選後排法

對於排列組合的混合應用題,可採取先選取元素,後進行排列的策略.

例8.(2002年北京高考)12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查,若每個路口4人,則不同的分配方案共有( )

A. 種 B. 種

C. 種 D. 種

解:本試題屬於均分組問題。 則12名同學均分成3組共有 種方法,分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有: 種,故選A。

例9.(2003年北京高考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,不同的種植方法共有( )
A.24種 B.18種 C.12種 D.6種
解:先選後排,分步實施. 由題意,不同的選法有: C32種,不同的排法有: A31·A22,故不同的種植方法共有A31·C32·A22=12,故應選C.

七.相同元素分配——檔板分隔法

例10.把10本相同的書發給編號為1、2、3的三個學生閱覽室,每個閱覽室分得的書的本數不小於其編號數,試求不同分法的種數。請用盡可能多的方法求解,並思考這些方法是否適合更一般的情況?

本題考查組合問題。

解:先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書;再對餘下的7本書進行分配,保證每個閱覽室至少得一本書,這相當於在7本相同書之間的6個「空檔」內插入兩個相同「I」(一般可視為「隔板」)共有 種插法,即有15種分法。

總之,排列、組合應用題的解題思路可總結為:排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類為加,分步為乘。

具體說,解排列組合的應用題,通常有以下途徑:

(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素。

(2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置。

(3)先不考慮附加條件,計算出排列或組合數,再減去不合要求的排列組合數。

排列組合問題的解題方略

湖北省安陸市第二高級中學 張征洪

排列組合知識,廣泛應用於實際,掌握好排列組合知識,能幫助我們在生產生活中,解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。因此有必要對排列組合問題的解題規律和解題方法作一點歸納和總結,以期充分掌握排列組合知識。

首先,談談排列組合綜合問題的一般解題規律:

1)使用「分類計數原理」還是「分步計數原理」要根據我們完成某件事時採取的方式而定,可以分類來完成這件事時用「分類計數原理」,需要分步來完成這件事時就用「分步計數原理」;那麼,怎樣確定是分類,還是分步驟?「分類」表現為其中任何一類均可獨立完成所給的事件,而「分步」必須把各步驟均完成才能完成所給事件,所以准確理解兩個原理強調完成一件事情的幾類辦法互不幹擾,相互獨立,彼此間交集為空集,並集為全集,不論哪類辦法都能將事情單獨完成,分步計數原理強調各步驟缺一不可,需要依次完成所有步驟才能完成這件事,步與步之間互不影響,即前步用什麼方法不影響後面的步驟採用的方法。

2)排列與組合定義相近,它們的區別在於是否與順序有關。

3)復雜的排列問題常常通過試驗、畫 「樹圖 」、「框圖」等手段使問題直觀化,從而尋求解題途徑,由於結果的正確性難於檢驗,因此常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗。

4)按元素的性質進行分類,按事件發生的連續性進行分步是處理排列組合問題的基本思想方法,要注意「至少、至多」等限制詞的意義。

5)處理排列、組合綜合問題,一般思想是先選元素(組合),後排列,按元素的性質進行「分類」和按事件的過程「分步」,始終是處理排列、組合問題的基本原理和方法,通過解題訓練要注意積累和掌握分類和分步的基本技能,保證每步獨立,達到分類標准明確,分步層次清楚,不重不漏。

6)在解決排列組合綜合問題時,必須深刻理解排列組合的概念,能熟練地對問題進行分類,牢記排列數與組合數公式與組合數性質,容易產生的錯誤是重復和遺漏計數。

總之,解決排列組合問題的基本規律,即:分類相加,分步相乘,排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;正難則反,間接排除等。

其次,我們在抓住問題的本質特徵和規律,靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時,還要注意講究一些解題策略和方法技巧,使一些看似復雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

一.特殊元素(位置)的「優先安排法」:對於特殊元素(位置)的排列組合問題,一般先考慮特殊,再考慮其他。

例1、 用0,2,3,4,5,五個數字,組成沒有重復數字的三位數,其中偶數共有( )。

A. 24個 B.30個 C.40個 D.60個

[分析]由於該三位數為偶數,故末尾數字必為偶數,又因為0不能排首位,故0就是其中的「特殊」元素,應該優先安排,按0排在末尾和0不排在末尾分兩類:1)0排末尾時,有A42個,2)0不排在末尾時,則有C21 A31A31個,由分數計數原理,共有偶數A42 + C21 A31A31=30個,選B。

二.總體淘汰法:對於含否定的問題,還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中,也可用此法解答:五個數字組成三位數的全排列有A53個,排好後發現0不能排首位,而且數字3,5也不能排末位,這兩種排法要排除,故有A53--3A42+ C21A31=30個偶數。

三.合理分類與准確分步含有約束條件的排列組合問題,按元素的性質進行分類,按事情發生的連續過程分步,做到分類標准明確,分步層次清楚,不重不漏。

四.相鄰問題用捆綁法:在解決對於某幾個元素要求相鄰的問題時,先整體考慮,將相鄰的元素「捆綁」起來,看作一「大」元素與其餘元素排列,然後再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略就是捆綁法.

例2、有8本不同的書;其中數學書3本,外語書2本,其它學科書3本.若將這些書排成一列放在書架上,讓數學書排在一起,外語書也恰好排在一起的排法共有( )種.(結果用數值表示)

解:把3本數學書「捆綁」在一起看成一本大書,2本外語書也「捆綁」在一起看成一本大書,與其它3本書一起看作5個元素,共有A55種排法;又3本數學書有A33種排法,2本外語書有A22種排法;根據分步計數原理共有排法A55 A33 A22=1440(種).

註:運用捆綁法解決排列組合問題時,一定要注意「捆綁」起來的大元素內部的順序問題.

五.不相鄰問題用「插空法」:不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其它元素將它們隔開.解決此類問題可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置,故稱插空法.

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數,要求1與2相鄰,2與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰。這樣的八位數共有( )個.(用數字作答)

解:由於要求1與2相鄰,2與4相鄰,可將1、2、4這三個數字捆綁在一起形成一個大元素,這個大元素的內部中間只能排2,兩邊排1和4,因此大元素內部共有A22種排法,再把5與6也捆綁成一個大元素,其內部也有A22種排法,與數字3共計三個元素,先將這三個元素排好,共有A33種排法,再從前面排好的三個元素形成的間隙及兩端共四個位置中任選兩個,把要求不相鄰的數字7和8插入即可,共有A42種插法,所以符合條件的八位數共有A22 A22 A33 A42=288(種).

註:運用「插空法」解決不相鄰問題時,要注意欲插入的位置是否包含兩端位置.

六.順序固定用「除法」:對於某幾個元素按一定的順序排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列,然後用總的排列數除於這幾個元素的全排列數。

例4、6個人排隊,甲、乙、丙三人按「甲---乙---丙」順序排的排隊方法有多少種?

分析:不考慮附加條件,排隊方法有A66種,而其中甲、乙、丙的A33種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A66 ÷A33 =120種。(或A63種)

例5、4個男生和3個女生,高矮不相等,現在將他們排成一行,要求從左到右女生從矮到高排列,有多少種排法。

解:先在7個位置中任取4個給男生,有A74 種排法,餘下的3個位置給女生,只有一種排法,故有A74 種排法。(也可以是A77 ÷A33種)

七.分排問題用「直排法」:把幾個元素排成若干排的問題,可採用統一排成一排的排法來處理。

例6、7個人坐兩排座位,第一排3個人,第二排坐4個人,則不同的坐法有多少種?

分析:7個人可以在前兩排隨意就坐,再無其它條件,故兩排可看作一排來處理,不同的坐法共有A77種。

八.逐個試驗法:題中附加條件增多,直接解決困難時,用試驗逐步尋找規律。

例7.將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的方格中,每方格填1個,方格標號與所填數字均不相同的填法種數有( )

A.6 B.9 C.11 D.23

解:第一方格內可填2或3或4,如第一填2,則第二方格可填1或3或4,若第二方格內填1,則後兩方格只有一種方法;若第二方格填3或4,後兩方格也只有一種填法。一共有9種填法,故選B

九、構造模型 「隔板法」

對於較復雜的排列問題,可通過設計另一情景,構造一個隔板模型來解決問題。

例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數解?

分析:建立隔板模型:將12個完全相同的球排成一列,在它們之間形成的11個間隙中任意插入3塊隔板,把球分成4堆,每一種分法所得4堆球的各堆球的數目,對應為a、b、c、d的一組正整解,故原方程的正整數解的組數共有C113 .

又如方程a+b+c+d=12非負整數解的個數,可用此法解。

十.正難則反——排除法

對於含「至多」或「至少」的排列組合問題,若直接解答多需進行復雜討論,可以考慮「總體去雜」,即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉,從而計算出符合條件的排列組合數的方法.

例9、從4台甲型和5台乙型電視機中任意取出3台,其中至少要甲型與乙型電視機各一台,則不同的取法共有( )種.

A.140種 B.80種 C.70種 D.35種

解:在被取出的3台中,不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合題意,因此符合題意的抽取方法有C93-C43-C53=70(種),故選C.

註:這種方法適用於反面的情況明確且易於計算的習題.

十一.逐步探索法:對於情況復雜,不易發現其規律的問題需要認真分析,探索出其規律

例10、從1到100的自然數中,每次取出不同的兩個數,使它們的和大於100,則不同的取法種數有多少種。

解:兩個數相加中以較小的數為被加數,1+100>100,1為被加數時有1種,2為被加數有2種,…,49為被加數的有49種,50為被加數的有50種,但51為被加數有49種,52為被加數有48種,…,99為被捕加數的只有1種,故不同的取法有(1+2+3+…+50)+(49+48+…+1)=2500種

十二.一一對應法:

例11.在100名選手之間進行單循環淘汰賽(即一場失敗要退出比賽)最後產生一名冠軍,要比賽幾場?

解:要產生一名冠軍,要淘汰冠軍以外的所有選手,即要淘汰99名選手,要淘汰一名就要進行一場,故比賽99場。

應該指出的是,以上介紹的各種方法是解決一般排列組合問題常用方法,並非絕對的。數學是一門非常靈活的課程,同一問題有時會有多種解法,這時,要認真思考和分析,靈活選擇最佳方法.還有像多元問題「分類法」、環排問題「線排法」、「等概率法」等在此不贅述了。

㈡ 如何學好排列組合,排列組合有哪些方法和技巧,如何掌握

會了不難

學習本章內容,基本東西要熟悉

首先要了解排列和組合的概念,從n個不同元素中取出m個元素所有不同排列(組合)的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(組合數)其中(n》m)。

並熟練運用加法原理和乘法原理 對特殊元素特殊位置優先考慮 常用方法為:元素分析法 和位置分析法,當元素較少時可採用枚舉法(藉助樹形圖)還有諸如相鄰問題捆綁法、相間問題插空法、相同元素分組隔板法 、定序,均勻分組問題除法處理(通常都有一些相對的關系,比如高矮,大小等)定序問題還可以直接取出定序的元素而不排列,將剩下的元素進行排列、分排問題直排處理、排列組合綜合問題先組合後排列 (組合時先對所取元素進行分類、直接分類間接排除(正難則反)、特殊的排列,如圓排列等 對於以上基本問題需要一定的題量訓練

二.細節部分

(1)分清是排列還是組合(關鍵在於有序還是無序)

(2)所取的元素是相同還是不同還是介於二者之間,含有相同的元素排列可看做定序排列, 有時還可能涉及到重復排列。

(3)分組是均勻分組還是非均勻分組,分組後的得主是否確定.一般可以分兩部,先分組再 分配.

三.重要的數學思想方法

(1)分類討論(重點也是難點) (2)轉化與化歸(如確定異面直線的條數時轉化為確定三棱錐的個數) 學會建立基本模型,大多數題目都可以轉化為基本模型來處理,一些新題型大都是把那些常見的題目「披上馬甲」後推出的.

四.另外學會培養一題多解的能力,這樣不但有利於開發智力,還可以檢查時從另一個方面 來核實答案.

五.以上這些都是理論知識的掌握,要做到靈活運用還是避免不了多做題,多實戰。

好了,同學們加油哦

高中教學里排列組合是文科的選修,理科的必修,大學里也是幾排列組合,我建議排列組合還是需要視頻教學學習重點比較好。

排列組合我覺得重在理解原理,雖然「分類加法」與「分步乘法」兩大基本原理說起來很容易,但是基本上稍微復雜點的排列組合問題中都會有所涉及,有時候在題目當中,很多人都弄不清楚到底是用加法還是乘法。

另外就是「排列」與「組合」的區別一定要吃透,一句話就是是否與順序有關,每一步計算都要想清楚是「抽」還是「排」,舉個最簡單的例子:5個人抽3個,就是C5 3,這個過程只有抽。5個人抽3個去做3件事,就是A5 3,這個過程不僅有抽,還有排。最後就是總結一些常見的方法以及每種方法的適用范圍,像隔板法,對立事件法等。

最後給個小建議,為了能更好地吃透排列與組合這兩個概念,建議能直接用排列就不要用組合,比如我剛才舉的例子:5個人抽3個去做3件事,可以直接A5 3,而不需要用C5 3A3 3。

當然學數學還是要多去動腦子思考,做錯的題對照答案解析去思考,這個題自己錯在哪?為什麼會出錯?還有最重要的一點,多思考「這個題為什麼要這樣做?為什麼用其他方法就不行?」我覺得能想明白這個問題才算是真正學懂學會,因為我們有時候遇到不會的題,一看答案或許能很容易看明白,但是難的是「這個題怎麼能想到這樣去做的?」所以真正想把數學學好,就要做到知其然而且知其所以然。

(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型,需要較強的抽象思維能力;

(2)限制條件有時比較隱晦,需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯詞和量詞)准確理解;

(3)計算手段簡單,與舊知識聯系少,但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大;

(4)計算方案是否正確,往往不可用直觀方法來檢驗,要求我們搞清概念、原理,並具有較強的分析能力。

把那幾個常用公式記的很牢很牢的,隨便問你一下,你就能馬上把公式反應在大腦里,這是基礎要求.其次是要融會貫通,有些變形的式子,你也要能一眼看穿它的本質.然後就是分清楚什麼是排列,什麼是組合,這個需要你知道很順序有沒有關系.跟順序有關的是排列,無關的是組合.這是解題的時候第一步就要知道的東西,一道題目是排列問題,或者是組合問題,或者兩者都有,是你看到題目後首先想到需要明確的,知道了這,你才能不會在答題的時候出現與答題點相悖的情況.最後就是需要你列式解答了,這個過程中你需要知道的是題目中的哪些信息有用,哪些是迷惑你的信息.

二項式定理就是要背公式,然後要有"整體的觀點",也就是說,有的式子很復雜,但是你要是能把那些復雜的式子看作一個整體的話,就會發現是那麼簡單,然後就可以很好的解題了.有的時候,運用公式的條件不具備,那麼你就想個辦法,做個等量代換,比如乘以一個數,再除以一個數,這樣,在括弧里的式子就能使用公式了.然後計算出來以後再化簡,就能得到你需要的結果.

不知道對你有沒有用,不過方法你可以試試.最關鍵的還是要記住公式,然後有針對性的多看例題,多做跟例題相關的習題,這樣,就一定能學好排列組合和二項式定理.因為數學就是一個"悟跟練"的過程,

我在教學生的時候,讓學生把概率的題目分成,分子分母,然後用乘法也就是排列,組合去分別求分子分母。

列舉法一定要在解題時迴避掉。它無法幫你提高任何對概率的理解,一般在檢查,或者題目無法理解時使用。首先把問題分成,一次抓取(組合),依次不放回(排列),依次放回(次方)去解決。之後就是把題目翻譯成數學語言,確定分子分母如何相乘,要注意一次和依次在分子分母上是同步關系。

還有兩種情況就是,1,只能數的,那就一個個數,這種題目一般發生在給你一個區域,之中有一系列滿足條件的點,點坐標一般都是整數,沒什麼好說的,區域都不大,暴力枚舉;2,另一種題型就是既不是排列,也不是組合,也不是次方,也很難枚舉,考慮的是古典概型的定義,即分母表示所有可行解的數量,分子表示所有滿足條件的可行解的數量(生活化語言就是這樣)。

舉個例子,A在1-7中取整數,B在1-13取整數,A+B和為偶數的概率,先定分母,7*13=91,再定分子,兩數和為偶數,要麼同奇,要麼同偶,所以就是4*7+3*6=46。所以最後的概率是46/91。

多寫作文吧。文字,是最大的排列組合。我「故事化作文」的核心觀點,「故事,是三個及以上情節的排列和組合」,你會發現學好語文,也學好了數學,哈哈。比方說,「我吃肉」「我喜歡吃肉」「我是一個胖子」,3句話,你排列組合下,多少種故事的講法?4句,5句……100句?學數學,可以在故事中學,情境嘛,很重要!

學好排列組合首先要學會區分做一件事情是分步還是分類,分步乘法,分類加法,在去討論每一步或者每一類有幾種可能的情況,討論的時候要注意是否考慮順序,也就是說順序對最後的結果有沒有影響再決定是排列還是組合,簡而言之就是要學會分類討論

1.先理解排列組合的基本概念,它們是怎麼產生的,為了解決什麼問題。

2.對公式和基本定理不要死記硬背,如果能推導出來最好,不能推導的話,可以配合一個實際例子來理解記憶。

3.多做題目,多練習,熟能生巧。

a 123……窮舉法計數統計,b歸納總結規則性排列

㈢ 解決排列組合問題用哪些數學思想和方法

一、排列組合部分是中學數學中的難點之一,原因在於
(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型,需要較強的抽象思維能力;
(2)限制條件有時比較隱晦,需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯詞和量詞)准確理解;
(3)計算手段簡單,與舊知識聯系少,但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大;
(4)計算方案是否正確,往往不可用直觀方法來檢驗,要求我們搞清概念、原理,並具有較強的分析能力.
二、兩個基本計數原理及應用
(1)加法原理和分類計數法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分類的要求
每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務;兩類不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類不重);完成此任務的任何一種方法,都屬於某一類(即分類不漏)
(2)乘法原理和分步計數法
1.乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務,必須且只須連續完成這n步才能完成此任務;各步計數相互獨立;只要有一步中所採取的方法不同,則對應的完成此事的方法也不同

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