怎麼判斷矩陣是低秩的方法

① 矩陣的低秩近似 證明

1-范數應該改成2-范數，否則結論不對

至於證明，可以用反證法
假定存在B使得rank(B)<=k且||E||_2<σ_{k+1}，其中E=A-B
把B的奇異值從大到小排序，記成μ_1,...,μ_N，其中N=min{m,n}
由Weyl不等式得|μ_{k+1}-σ_{k+1}| <= ||E||_2 < σ_{k+1}，必有μ_{k+1}>0，與rank(B)<=r矛盾
最後取B=A_k可以驗證最小值能取到

對於F范數也類似，記號同上，假定||E||_F^2<σ_{k+1}^2+...+σ_r^2=σ_{k+1}^2+...+σ_N^2
由Hoffman–Wielandt不等式得
|μ_1-σ_1|^2 + ... + |μ_N-σ_N|^2 <= ||E||_F^2 < σ_{k+1}^2+...+σ_N^2
由於μ_{k+1}=...=μ_N=0，不等式左端不可能小於右端，矛盾

② 什麼是矩陣低秩逼近

矩陣低秩逼近就是對一個一般來說很大規模的矩陣，希望用一個秩比較低的矩陣。
矩陣：構成動態平衡的循環體系。
例子：可以把能量循環體系視為矩陣。聚能/平衡效應。人體可以視為矩陣，地球可以比喻視為矩陣，宇宙也比喻的視為矩陣。
在數學中，矩陣（Matrix）是指縱橫排列的二維數據表格，最早來自於方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。
矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和准對角矩陣，有特定的快速運算演算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

③ 矩陣的秩怎麼判斷

看出矩陣的秩是將矩陣化成行階梯形後，看它非零行的個數就是它的秩了。在數學中，矩陣是一個按照長方陣列排列的復數或實數集合，最早來自於方程組的系數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。

矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。

④ 如何判斷矩陣的秩 我在網上看說經過初等變換後非零行數就是秩，但這個題3個非0行，為什麼秩是2跟後

你說的和答案是兩個不同的求秩的方法
你說的是對的，但前提是要把矩陣通過初等變換化到階梯形，再來看非零行的個數，就是矩陣的秩。
答案是通過矩陣的秩與行列式的關系以及秩的定義來做的。因為有個二階子式不為0，所以秩要麼為2，要麼為3.又因為行列式為0，所以秩小於3.所以秩為2.

⑤ 請問一下怎麼看矩陣的秩

AX=B

對增廣矩陣(A，B) 做初等行變換

先化成梯矩陣

非零行數即增廣矩陣的秩，不算最後一列的非零行數即系數矩陣的秩

比如 (A，B) 化為

1 2 3 4 5

0 0 6 7 8

0 0 0 0 0

則 r(A，B)=2，r(A)=2

方程組有解的充分必要條件是 r(A)=r(A，B)

且 r(A)=r(A，B)=n (未知量的個數或A的列數) 時，方程組有唯一解

r(A)=r(A，B)

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矩陣的秩

定理：矩陣的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等變換不改變矩陣的秩。

定理：如果A可逆，則r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩陣的乘積的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：設矩陣A=(aij)sxn的列秩等於A的列數n，則A的列秩，秩都等於n。

當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

⑥ 想問下矩陣的低秩的性質和稀疏的性質之間有什麼聯系和區別么

稀疏矩陣不一定低秩(考慮單位陣), 低秩矩陣也不一定稀疏(考慮所有元素全為1的矩陣)

參考網頁鏈接

⑦ 矩陣低秩的意義

我知道在線性代數中要學習有一個是矩陣低秩，在這個公式中一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數。通常表示為r(A)，rk(A)或rankA。

矩陣的秩

先來看下線性代數中的「秩」的概念，有如下方程：

考慮到同一人臉的多幅圖像，我們將每幅圖像編碼為列向量，然後將這些列排列成矩陣。這個矩陣應該是低秩矩陣，因為每個圖像在同一位置（x，y）上的像素值應該相似。當雜訊發生時，矩陣變得充滿秩。在這一點上，我們可以通過低秩分解得到低秩矩陣和雜訊矩陣。

總結：這樣的應用在某些恢復方面有很大幫助。

⑧ 怎麼快速判斷一個矩陣的秩

將它化成行階梯形後 看它非零行的個數就行了 這就是它的秩了