如何用數學方法解決一筆畫問題

1. 一筆畫問題,數學高手進來

歐拉曾證明只有兩個奇數點可用一筆畫出。現有n個奇數點須n/2筆畫出。只能把兩個奇數點用一筆畫出，若是3個則有重復的路線。因此n個點是n/2對。
奇點的每條邊連完了，還有剩下的偶點。這剩下的所有偶點和一對奇點構成一個一筆畫。剩下的(n/2)-1筆就是連接剩下的n-2個奇點。n必是偶數。一個圖由奇數點和偶數點構成。每個點的邊數叫次數。所有點的次數和是邊數的2倍是偶數。因為求次數和時每條邊都被加了兩次。顯然所有偶數點的次數和是偶數，所以奇數點的次數和是偶數，也就是說只能有偶數個奇數點。

2. 求關於一筆畫的數學問題

要一筆劃必須滿足：1.圖形必須是連通圖。2.在一個連通圖中，如果圖中都是偶點，那麼就能夠一筆畫，並且起筆與落筆是同一個點。如果圖中有兩個奇點，那麼也能夠一筆畫，且起筆與落筆在這兩個奇點上，如果圖中有兩個以上的奇點，那麼這個圖形就不能一筆畫（所謂偶點就是交匯點的線條數為偶數，奇點就是交匯點的線條數為奇數，如四邊行的四個頂點為交匯點都是2條線段交匯這就叫偶點）

3. 什麼是「一筆畫問題」

一筆畫問題
數學家歐拉曾經解決過著名的七橋問題（七橋圖見圖1.3-5⑴圖）。下面寫出七橋問題的描述：城市中有一條河，河中有A、D兩個島，河上有七座橋來連接兩個島及河的B、C兩岸，問：⑴能否剛好經過每座橋一次，既無重復也無遺漏？⑵能否經過橋一次後又回到原來出發點上來？

圖1.3-5

七橋問題可以畫成圖1.3-5中的⑵圖的形式，這樣七橋問題的第一問就轉化成了能否一筆畫成一個圖的問題。

一個圖能否一筆畫成需要滿足以下條件：先根據圖的鄰接矩陣求出每個頂點的度數。如果沒有度數為奇數的頂點，則可以從任一點開始一筆畫成一個圖。如果有兩個度數為奇數的頂點，則可從這兩個奇數頂點中的任一點開始一筆畫成一個圖。如果度數為奇數的頂點超過兩個，則這個圖不能夠一筆畫出。

圖1.3-6

對於圖1.3-5的⑵圖或是1.3-6所示的無向圖，可以用數組graph存儲圖的鄰接矩陣，用數組degree存儲每個頂點的度數，用變數Total_d存儲總的度數，用變數Odd_num存儲度數為奇數的頂點個數，用變數start存儲一筆畫的起始頂點。

一筆畫程序如下：

program stroke(input,output);

var graph:array[1..20,1..20] of 0..1;

degree:array[1..20] of integer;

odd_num,vn,vi,vj,start,total_d:integer;

begin

odd_num:=0;total_d:=0;start:=1;

write('please input the number of vertex:');

readln(vn);

writeln('please input the data:');

for vi:=1 to vn do

begin

degree[vi]:=0;

for vj:=1 to vn do

begin

read(graph[vi,vj]); ｛讀入鄰接矩陣｝

degree[vi]:=degree[vi]+graph[vi,vj]｛求每個頂點的度數｝

end;

total_d:=total_d+degree[vi];｛求總的度數｝

if odd(degree[vi]) then

begin

odd_num:=odd_num+1; ｛統計奇數頂點的個數｝

start:=vi｛確認從奇數頂點出發｝

end

end;

if odd_num>2 then writeln('no solution')｛奇數頂點超過兩個顯示無解｝

else

begin

write('the road is: ',start);

vi:=0;

while total_d>2 do

begin

repeat vi:=vi+1 until graph[start,vi]<>0;｛找連接的相鄰點｝

if degree[vi]>1 then｛先畫度數大於1的頂點｝

begin

write('->',vi);

graph[start,vi]:=0;

graph[vi,start]:=0;

degree[vi]:=degree[vi]-1;

degree[start]:=degree[start]-1;

total_d:=total_d-2;

start:=vi;

vi:=0

end

end;

repeat vi:=vi+1 until graph[start,vi]<>0;｛確認最後一筆｝

writeln('->',vi)

end

end.

輸入圖1.3-6所示的無向圖，程序運行結果如下：

please input the number of vertex:6

please input the data:

0 1 1 0 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0

the road is: 5->3->1->2->3->6->2->4->5->6->4

巴蜀

4. 判斷一個圖形是否能一筆畫的辦法

一、一筆畫的概念

1、一筆畫是討論某圖形是否可以一筆畫出。圖形中任何端點根據所連接線條數被分為奇點、偶點。只有所有點為偶點的圖形和只有兩個奇點的圖形一定可以一筆畫。只有偶點的圖形不限出發點，兩個奇點必然從其中一點出發到另一點結束。

2、凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點則是終點。

3、凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。

二、判斷一個圖形是否一筆畫

1、只要大家去數這個圖形中一共有多少個奇點就行了，如果這個圖形中的奇點數為0或者奇點有且僅有2個的時候，那麼這個圖形就能被一筆畫。

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一、奇點的概念

1、奇點就是：從一個點出發，引出的線段數為奇數條，那麼這個點就是奇點(注意：包括端點)。

2、只要一個點引出的線段為奇數條，無論是1，3，5，7，9……，這個點都能稱之為奇點。

二、關於多筆畫圖形

1、如果奇點的個數是除了0和2以外的其他數，那麼這個圖形就是多筆畫圖形。

2、有個小技巧要跟大家分享，除了一筆畫的圖形，其他圖形的筆畫數=奇點數÷2。

5. 一筆畫問題口訣是什麼

一筆畫問題口訣是：4個度為1點，2個度為4點和1個度為2點。

(1)從一點出發的線的條數是1,3,5,7,9這樣的單數，這個點稱為奇點（單數點）。

(2)從一點出發的線的條數是2,4,6,8,10這樣的雙數，這個點稱為偶點（雙數點）。

奇點通常是一個當數學物件上被稱為未定義的點，或當它在特別的情況下無法完序，以至於此點出現在於異常的集合中。諸如導數。參見幾何論中一些奇點論的敘述。

一筆畫中的應用

奇點可用於判斷一個圖形是否能夠一筆畫出：當一個圖形線條之間相通且奇點數為0或者2時，該圖形可一筆畫出。另：所有的端點都是奇點。

從這一點出發的線段數為奇數條偶點：從這一點出發的線段數為奇數條一筆畫中可以有0個奇數點或者2個奇數點一筆畫問題就是判斷奇點的個數，要是0或2，就可以一筆完成，大於2，就不能了，還可以做推廣，比如奇點數為4，要2筆;為6，要3筆而且在存在奇點的情況下，一定要從奇點出發。

6. 怎樣才能一筆畫完

告訴你一個定理吧：一個圖形想要一筆畫成，這個圖形的奇點數必須是0或2（奇點的意思是與之連通的線的數量為奇數的點），望採納

7. 一筆畫問題的原理是什麼

眾所周知的「哥尼斯堡城『七橋問題』」被大數學家歐拉開創了數學新分支-----圖論。也就是「一筆畫」。一筆畫圖形的必要條件是：奇節點數目是0或者2。圖⑴的「七橋問題」A,B,C,D都是奇節點，數目是4，所以不能夠「一筆畫」。我們把節點轉換回來，成為「節面」（區域），來考慮「一筆畫」。
一，在平面中，4個或者4個以下的區域可以構成兩兩相連的區域，可以一筆畫。圖⑵。每個區域必須是單連通的，就是一個區域不能夠是分成2塊或者2塊以上。圖⑶就不是單連通的。這是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有兩兩相同的5個區域。
二，緊致封閉平面，在一個輪胎狀的表面，7個或者7個以下的區域可以構成兩兩相連的區域。可以「一筆劃」。把圖（A）上下對折以後，再左右對折，形成一個輪胎狀，7個區域兩兩相連（國外數學家給出）.兩兩相連的區域可以不經過其它區域到達任何一個區域。P。J希伍德以畢生精力研究四色定理，並且證明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面著色問題提出一個推測：在有P>1個洞的封閉曲面上，足以為任何地圖著色的最小數等於（左圖上下對折再左右對折就是一個輪胎，7個區域兩兩相連，可以一筆畫）
Np=[(7+√（48p））/2]，其中[X]表示整數部分，
三個洞的封閉曲面
P=1,M1=7，即圖（A).
克萊因瓶也只能7色，而不是8色。三，德國數學家G.林格證明了：足以為任何一張有P>1個洞的封閉曲面著色的真正最小色數Np，Np-Mp《2，以後美國數學家VT楊斯進一步證明了Np-Mp《1，而希伍德的假設對於不同球面幾乎一切封閉曲面都是成立的，1974年，林格作出了完整的證明。例如，兩個洞的封閉曲面應該是M2=[7+√(48×2)/2]=8，能夠作8色。（見左圖）王曉明王蕊珂經過9年杜撰。 四，如果我們不限定形態 三個洞的封閉曲面M三個3=[7+√（48×3)/2]=9，能夠作9色四個洞10個區域兩兩相連一筆畫
五，圖D.這是有4個洞的10個兩兩相連區域圖，下面四叉按照ABCD對應。
數學家歐拉找到一筆畫的規律是：
⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。
⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。
⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。（有偶數個奇點除以二便可算出此圖需幾筆畫成。）
比如附圖：（a）為⑴情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。

8. 一筆畫問題的規律有什麼

一筆畫的規律：

1、凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。

2、凡是只有兩個奇點的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

簡介

1736年，歐拉證實：七橋問題的走法根本不存在。同時，他發表了「一筆畫定理」：一個圖形要能一筆畫完成必須符合兩個條件：圖形是聯通的；圖形中的奇點（與奇數條邊相連的點）個數為0或2。

歐拉的研究開創了數學上的新分支――圖形與幾何拓撲。

9. 數學一筆畫問題的規律

能一筆畫成的圖形上的點，除了起點與終點以外，每個點都應該與偶數條線相連，這種點叫偶數點。與奇數條線相連的點叫奇數點。能一筆畫成的圖形中除了起點與終點以外不應有奇數點。

數學題類型名，最著名的是七橋問題（歐拉解答）。一筆畫的概念是討論某圖形是否可以一筆畫出。圖形中任何端點根據所連接線條數被分為奇點、偶點。只有所有點為偶點的圖形和只有兩個奇點的圖形可以一筆畫。只有偶點的圖形不限出發點，只有兩個奇點必然從其中一點出發到另一點結束。在任何圖形中，奇點都是成對出現的，沒有奇數個奇點的圖形。
■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最後一定能以這個點為終點畫完此圖。
■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其餘都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。
■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)