二次根式的除法解題技巧和方法

① 二次根式除法運算如何進行

很簡單，除法公式：√a
÷√b=√(a/b)【a≥0,b＞0】
如：1、√8÷√2=√（8÷2）=√4=2
2、√6÷√（1/2）=√（6÷1/2）=√12=2√3
3、√（1/6）÷√3=√（1/6
÷3）=√（1/18）=√（2/36）=√2/6
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② 二次根式化簡方法

把一個二次根式化簡成最簡二次根式，有以下兩種情況：

1、如果被開方數是整式或整數，先將它分解因式或分解因數，然後將完全平方式或平方數開除根號，使根式化簡。

2、如果被開方數是分式或分數（包括小數），先分母有理化，再按被開方數是整式或整數的情形化簡。

由此可見，化簡二次根式要領有兩條：一是分母有理化；二是分解因式（因數），將完全平方式（數）開出根號。

最簡根式是根式的一個重要概念，在根式運算過程中，自始至終貫穿著根式的化簡，同學們要學會化簡根式的方法，化簡二次根式的步驟可簡要地概括為「開」、「補」兩個字。

第一步，「開」，即在被開方式的各因式中，可以用它們的算術平方根來代替，能移到根號外面的，都移到根號外面去，使新的被開方式的每一個因式的指數都小於根指數2；

第二步，「補」，即把新的被開方式的分母與分子同時補乘以分母本身，使分母自乘後，新分母可以全部開出根號外面去，達到被開方式不含分母的目的。

(2)二次根式的除法解題技巧和方法擴展閱讀：

二次根式的應用主要體現在兩個方面：

（1）利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題；

（2）利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。

③ 二次根式計算的方法

加減法

1、同類二次根式

一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。 化簡：根號12等於4的根號3

2.合並同類二次根式

把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。

3.二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並。

例如：（1）

用語言敘述為：兩個數的算術平方根的商，等於這兩個數商的算術平方根。

(3)二次根式的除法解題技巧和方法擴展閱讀：

運算方法

1、確定運算順序。

2、靈活運用運算定律。

3、正確使用乘法公式。

4、多數分母有理化要及時。

5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化（但最後結果必須是分母有理化的）。

6、字母運算時注意隱含條件和末尾括弧的註明。

7、提公因式時可以考慮提帶根號的公因式。

④ 二次根式的乘除法則是

二次根式的乘法：

（1）法則：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）

（2）類型：

單項二次根式乘以單項二次根式；

單項二次根式乘以多項二次根式；

多項二次根式乘以多項二次根式

在進行乘法運算時,有時可以應用乘法公式,使計算簡便.

3.二次根式的除法：

（1）法則：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）

（2）類型：

單項二次根式除以單項二次根式（應用運演算法則計算）

多項二次根式除以單項二次根式（轉化為單項二次根式除以單項二次根式）

除數是二個二次根式的和或是一個二次根式與一個有理數的和（把分母有理化進行運算,或與分式的運算類比思考,約去分子,分母中的公因式）.

(4)二次根式的除法解題技巧和方法擴展閱讀：

一般地，形如√a的代數式叫做二次根式，其中，a叫做被開方數。當a≥0時，√a表示a的算術平方根；當a小於0時，√a的值為純虛數（在一元二次方程求根公式中，若根號下為負數，則方程有兩個共軛虛根）。

判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀察被開方數的每一個因數（或因式）的指數都小於根指數2，且被開方數中不含有分母，被開方數是多項式時要先因式分解後再觀察。

最簡二次根式條件：

1.被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；

2.被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。

二次根式化簡一般步驟：

1.把帶分數或小數化成假分數；

2.把開方數分解成質因數或分解因式；

3.把根號內能開得盡方的因式或因數移到根號外；

4.化去根號內的分母，或化去分母中的根號；

5.約分。

二次根式的應用主要體現在兩個方面：

（1）利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規律探索性問題；

（2）利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。

⑤ 二次根式的乘法和除法法則

如果一個數的平方等於a，那麼這個數叫做a的平方根。a可以是具體的數，也可以是含有字母的代數式。
即：若
，則
叫做a的平方根，記作x=
。其中a叫被開方數。其中正的平方根被稱為算術平方根。
關於二次根式概念，應注意：
被開方數可以是數 ，也可以是代數式。被開方數為正或0的，其平方根為實數；被開方數為負的，其平方根為虛數。[1]
最簡二次根式
最簡二次根式條件：
1.被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；
2.被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
二次根式化簡一般步驟：
1.把帶分數或小數化成假分數；
2.把開方數分解成質因數或分解因式；
3.把根號內能開得盡方的因式或因數移到根號外；
4.化去根號內的分母，或化去分母中的根號；
5.約分。[1]
算術平方根
非負數
的平方根統稱為算術平方根，用
（a≥0）來表示。
負數沒有算術平方根，0的算術平方根為0。[1]

⑥ 二次根式計算與化解的技巧是什麼急用

一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
1）二次根式√ā的化簡
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
2）積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
3）最簡二次根式
條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
1
運演算法則
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
2
共軛因式
如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
1
同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2
合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。

⑦ 二次根式的乘法及除法的法則是什麼

1.二次根式的加減運算:
先把式子中各項二次根式化成最簡二次根式，再參照多項式的加減運算，去括弧與合並同類二次根式。
2.二次根式的乘法:
(1)法則:根a
·根b
=根ab
(a≥0且b≥0)
(2)類型:
(i)單項二次根式乘以單項二次根式;
(ii)單項二次根式乘以多項二次根式;
(iii)多項二次根式乘以多項二次根式
在進行乘法運算時，有時可以應用乘法公式，使計算簡便。
3.二次根式的除法:
(1)法則:根a/根b
=根a/b
(a≥0且b>0)
(2)類型:
(i)單項二次根式除以單項二次根式(應用運演算法則計算)
(ii)多項二次根式除以單項二次根式(轉化為單項二次根式除以單項二次根式)
(iii)除數是二個二次根式的和或是一個二次根式與一個有理數的和(把分母有理化進行運算，或與分式的運算類比思考，約去分子，分母中的公因式)。

⑧ 誰能告訴我二次根式計算的方法啊

二次根式的化簡與計算的策略與方法

二次根式是初中數學教學的難點內容，讀者在掌握二次根式有關的概念與性質後，進行二次根式的化簡與運算時，一般遵循以下做法：

①先將式中的二次根式適當化簡

②二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式 （ ， ）

③對於二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然後通過分母有理化進行運算．

④二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎上去括弧與合並同類項．

⑤運算結果一般要化成最簡二次根式．

化簡二次根式的常用技巧與方法

二次根式的化簡是二次根式教學的一個重要內容，對於二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運演算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例進行分類解析．

1．公式法

【例1】計算① ； ②

【解】①原式

②原式

【解後評注】以上解法運用了「完全平方公式」和「平方差公式」，從而使計算較為簡便．

2．觀察特徵法

【例2】計算：

【方法導引】若直接運用根式的性質去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發現，分母中的各項都乘以 ，即得分子，於是可以簡解如下：

【解】原式 ．

【例3】 把下列各式的分母有理化．

（1） ；（2） （ ）

【方法導引】①式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：

【解】①原式



【方法導引】②式可以直接有理化分母，再化簡．但是，不難發現②式分子中 的系數若為「1」，那麼原式的值就等於「1」了！因此，②可以解答如下：

【解】②原式





3．運用配方法

【例4】化簡

【解】原式



【解後評注】注意這時是算術根，開方後必須是非負數，顯然不能等於「 」

4．平方法

【例5】化簡

【解】∵





∴ ．

【解後評注】對於這類共軛根式 與 的有關問題，一般用平方法都可以進行化簡

5．恆等變形公式法

【例6】化簡

【方法導引】若直接展開，計算較繁，如利用公式 ，則使運算簡化．

【解】原式





6．常值換元法

【例7】化簡

【解】令 ，則：

原式











7．裂項法

【例8】化簡

【解】原式各項分母有理化得

原式



【例9】化簡



【方法導引】這個分數如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發現每一個分數的分子等於分母的兩個因數之和，於是則有如下簡解：

【解】原式







8．構造對偶式法

【例10】化簡

【解】構造對偶式，於是沒

，

則 ， ，

原式



9．由里向外，逐層化簡



【解】∵



而



∴原式

【解後評注】對多重根式的化簡問題，應採用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理．

10．由右到左，逐項化簡

【例11】化簡



【方法導引】原式從右到左是層層遞進的關系，因此從右向左進行化簡．

【解】原式







．

【解後評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環節緊湊，一環扣一環，如果不具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的．

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二次根式大小比較的常用方法

二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數（即二次根式）的大小同樣具有很強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用．

1．根式變形法

【例1】比較 與 的大小

【解】將兩個二次根式作變形得

，

∵ ，∴ 即

【解後評注】本解法依據是：當 ， 時，① ，則 ；②若 ，則

2．平方法

【例2】比較 與 的大小

【解】 ，

∵ ，∴

【解後評注】本法的依據是：當 ， 時，如果 ，則 ，如果 ，則 ．

3．分母有理化法

通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數的大小．

【例3】比較 與 的大小

【解】∵



又∵

∴

4．分子有理化法

在比較兩個無理數的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數的大小．

【例4】比較 與 的大小

【解】∵



又∵

∴ ．而

5．等式的基本性質法

【例5】比較 與 的大小

【解法1】∵



又



∴

即

【解後評注】本解法利用了下面兩個性質：①都加上同一個數後，兩數的大小關系不變．②非負底數和它們的二次冪的大小關系一致．

【解法2】將它們分別乘以這兩個數的有理化因式的積，得





又∵ ∴

【解後評注】本解法的依據是：都乘以同一個正數後，兩數的大小關系不變．

6．利用媒介值傳遞法

【例6】比較 與 的大小

【解】∵ ∴

又∵ ∴

∴

【解後評注】適當選擇介於兩個無理數之間的媒介法，利用數值的傳遞性進行比較．

7．作差比較法

在對兩數進行大小比較時，經常運用如下性質：

① ；②

【例7】比較 與 的大小

【解】∵



∴

8．求商比較法

與求差比較法相對應的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運用的是如下性質，當 ， 時，則：

① ；②

【例8】比較 與 的大小．

【解】

∵

∴

∴

【解後評注】得上所述，含有根式的無理數大小的比較往往可採用多種方法，來求解．有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對於具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結果．

⑨ 二次根式的乘除法是怎麼推導出來的

解答過程如下：

（根號a）*（根號b）=根號（ab）

證明過程：

設根號a=m 根號b=n

則 m²=a，n²=b

所以m²n²=ab

所以兩邊開方

mn=根號（ab）

又有 根號a=m 根號b=n

所以（根號a）*（根號b）=根號（ab）

(9)二次根式的除法解題技巧和方法擴展閱讀

運算方法

1、確定運算順序。

2、靈活運用運算定律。

3、正確使用乘法公式。

4、多數分母有理化要及時。

5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化（但最後結果必須是分母有理化的）。

6、字母運算時注意隱含條件和末尾括弧的註明。

7、提公因式時可以考慮提帶根號的公因式。

⑩ 二次根式的乘除法是怎麼計算的最好舉例！

1.
二次根式的乘法
兩個二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變，即
（
≥0，
≥0）。
說明：（1）法則中
、
可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，
、
都是非負數；
（2）
（
≥0，
≥0）可以推廣為
（
≥0，
≥0）；
（
≥0，
≥0，
≥0，
≥0）。
（3）等式
（
≥0，
≥0）也可以倒過來使用，即
（
≥0，
≥0）。也稱「積的算術平方根」。它與二次根式的乘法結合，可以對一些二次根式進行化簡。
2.
二次根式的除法
兩個二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變，即
（
≥0，
＞0）。
說明：
（1）法則中
、
可以是單項式，也可以是多項式，要注意它們的取值范圍，
≥0，
在分母中，因此
＞0；
（2）
（
≥0，
＞0）可以推廣為
（
≥0，
＞0，
≠0）；
（3）等式
（
≥0，
＞0）也可以倒過來使用，即
（
≥0，
＞0）。也稱「商的算術平方根」。它與二根式的除法結合，可以對一些二次根式進行化簡。