向量的解題技巧和方法

① 高中向量知識計算技巧

高中向量知識計算技巧的話，就是一定要明白向量的計算方法，它有方向的，它是矢量的，很簡單的，用公式套就行了。

② 高中向量解題技巧

幾何解法用矢量三角形或平行四邊形。
代數解法用歐拉公式。

③ 平面向量解題思路

向量與解析幾何類似，都是利用代數方法解決幾何問題，不過相比解析幾何，向量還相對直觀一些，華羅庚說過數少形少直觀，形少數少精確，具體我記不清了，大概這個意思，我的理解就是，世界是公平的，如果想少動腦，就要增加計算量，這就是很多題目有簡便演算法可是我們去不知道的原因，因為看上去計算量少，其背後的思考量卻驚人。
有點跑題，話說回來，向量既然是用計算量換思考的簡潔，就是因為針對幾何中的概念定理關系等等，在向量中都有明確的公式，而且這些公式針對性強，形式固定，說白了，公式背下來就完了，很多人覺得是廢話，不過事實如此，很多平面幾何難題只要肯計算，用向量都能搞定，幾乎不費腦，就是累手。

④ 高一數學平面向量的解題思路。

「平面向量」是高中數學知識體系的重要組成部分,高考題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現，平面向量在培養學生良好學習素養、提升學習解題能力中發揮著重要作用。掌握靈活、多樣、實用的解題方法和策略是學好平面向量知識的重要條件和基本要義。例舉四個方法解決平面向量問題。
1 數形結合思想
由於向量具有「數」與「形」雙重身份，利用數形結合思想，將問題內容通過圖形形式進行有效展示,並抓住內在關聯,進行求解，會使得問題得到事半功倍的效果。

⑤ 向量的解答方法

（1）向量（CD+CE)+(EA-AC)
=CD+(CE+EA)-AC
=CD+CA+CA
=CD+2CA.

⑥ 高中數學向量秒殺技巧有哪些

向量有哪些技巧：

第一個，用在物理裡面，矢量加法算模長，｜a+b|=根號下（a+b)^2.展開這個平方式，只要知道ab以及它們的夾角的餘弦值，就能算了。

第二個，極化恆等式，a*b=1/4，你可以考慮一下這東西的幾何意義。

第三個，定比分點的向量表示。

第四個，阿波羅尼斯圓，圓心位置的向量表示（我估計這玩意你用到的可能不大）。

第五個，這要上圖了。這東西是用向量共線定理推導出來的。但是形式上和向量無關，你可以自己推導一下。若AD/AB=a,AE/AC=b.那麼BO/BE=(1-a)/（1-ab),CO/CD=(1-b)/(1-ab)。

第六個，等差線，等和線，等線。

第七個，三角形中快速求中線的辦法，c=1/2|a+b|。怎麼求模長看第一點，cos用餘弦公式打開。類似的，結合第三個，還可以得到角平分線，高的表示。

第八個，賓士定理。難題估計也就靠它了。（注意中心點是四心的時候的形式）。別的基本通過平方開方，加減能做出來。

第九個，柯西不等式的向量式，｜ab|<=|a|*|b|。

⑦ 向量的基本公式與做題方法

如果 a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λa。 證明： 1）充分性，對於向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那麼由 實數與向量的積的定義 知，向量a與b共線。 2）必要性，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那麼當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b =λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那麼λ=0。 3）唯一性，如果 b=λa=μa，那麼 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。 證畢。[編輯本段]推論 推論1 兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。 證明： 1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。 2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實數λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λa+μb=0。 證畢。 推論2 兩個非零向量a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。 證明： 1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。 2）必要性，∵向量a與b共線，且a≠0，則由 共線向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，實數λ、μ全不為零。 證畢。 推論3 如果a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實數λ、μ，使得 λa+μb=0，那麼λ=μ=0。 證明：（反證法） 不妨假設μ≠0，則由 推論1 知，向量a、b共線；這與已知向量a、b不共線矛盾，故假設是錯的，所以λ=μ=0。 證畢。 推論4 如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。 證明： ∵三點P、A、B不共線，∴向量AB≠0， 由 共線向量基本定理 得， 點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ，使 向量AC=λ·向量AB ∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線， ∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。 證畢。 推論5 如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1） 證明： 在推論4 中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知： 三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1） 下面證唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB， 即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0， ∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線， 由 推論3 知，m=λ，n=μ。 證畢。 推論6 如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。 證明： 1）充分性，由推論5 知，若三點P、A、B不共線，則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。 取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零。 2）必要性，不妨設ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推論5 即知，點C在直線AB上。 證畢。 推論7 點P是直線AB外任意一點，那麼三不同點A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。 證明：（反證法） ∵點P是直線AB外任意一點，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。 由推論6 知，實數λ、μ、ν不全為零， 1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA=0，∴向量PA=0。這與向量PA≠0。 2）假設實數λ、μ、ν中有一個為零，不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 與 向量PB共線，這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾。 證畢。[編輯本段]共線向量定理 定理1 ⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是 其中 都是其對應向量的數量。 證明：有推論5 即可證得。 定理2 ⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是 其中 都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。 證明：由定理1 即可得證。

⑧ 數學向量的重要理論和公式，及解題方法

如果 a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λa。
證明：
1）充分性，對於向量 a(a≠0)、b，如果有一個實數λ，使 b=λa，那麼由 實數與向量的積的定義 知，向量a與b共線。
2）必要性，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣。那麼當向量a與b同方向時，令 λ=m，有 b =λa，當向量a與b反方向時，令 λ=-m，有 b=-λa。如果b=0，那麼λ=0。
3）唯一性，如果 b=λa=μa，那麼 (λ-μ)a=0。但因a≠0，所以 λ=μ。
證畢。
[編輯本段]推論

推論1

兩個向量a、b共線的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，不妨設μ≠0，則由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。
2）必要性，已知向量a與b共線，若a≠0，則由共線向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，實數λ、μ不全為零。若a=0，則取μ=0，取λ為任意一個不為零的實數，即有 λa+μb=0。
證畢。

推論2

兩個非零向量a、b共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ，使得 λa+μb=0。
證明：
1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知，向量a與b共線。
2）必要性，∵向量a與b共線，且a≠0，則由 共線向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，實數λ、μ全不為零。
證畢。

推論3

如果a、b是兩個不共線的向量，且存在一對實數λ、μ，使得 λa+μb=0，那麼λ=μ=0。
證明：（反證法）
不妨假設μ≠0，則由 推論1 知，向量a、b共線；這與已知向量a、b不共線矛盾，故假設是錯的，所以λ=μ=0。
證畢。

推論4

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一實數λ，使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。（其中，向量AC=λ向量AB）。
證明：
∵三點P、A、B不共線，∴向量AB≠0，
由 共線向量基本定理 得，
點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ，使 向量AC=λ·向量AB
∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
證畢。

推論5

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在唯一一對實數λ、μ，使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
證明：
在推論4 中，令 1-λ=μ ，則λ+μ=1，知：
三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是：存在實數λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。（其中，λ+μ=1）
下面證唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB，
即，（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0，
∵三點P、A、B不共線，∴向量PA 與 向量PB 不共線，
由 推論3 知，m=λ，n=μ。
證畢。

推論6

如果三點P、A、B不共線，那麼點C在直線AB上的充要條件是：存在不全為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
證明：
1）充分性，由推論5 知，若三點P、A、B不共線，則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）。
取ν=-1，則有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且實數λ、μ、ν不全為零。
2）必要性，不妨設ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，則 向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1。由推論5 即知，點C在直線AB上。
證畢。

推論7

點P是直線AB外任意一點，那麼三不同點A、B、C共線的充要條件是：存在全不為零的實數λ、μ、ν，使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0。
證明：（反證法）
∵點P是直線AB外任意一點，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。
由推論6 知，實數λ、μ、ν不全為零，
1）假設實數λ、μ、ν中有兩個為零，不妨設λ≠0，μ=0，ν=0。則 λ向量PA=0，∴向量PA=0。這與向量PA≠0。
2）假設實數λ、μ、ν中有一個為零，不妨設λ≠0，μ≠0，ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 與 向量PB共線，這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾。
證畢。
[編輯本段]共線向量定理

定理1

⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是

其中

都是其對應向量的數量。
證明：有推論5 即可證得。

定理2

⊿ABC中，點D在直線BC上的充要條件是

其中
都是有向面積。通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。
證明：由定理1 即可得證。