高等數學曲面面積的計算方法

A. 用積分方法求解曲面面積 高數 兩道

以下來求，橢圓拋物面 x=y^2+z^2 在 圓柱面 y^2+z^2=9 內的那部分面積：草圖為

B. 曲面圖形面積計算的公式推導式的意義

曲面面積(area of a surface)是指曲面表面的面積。把光滑曲面S分成沒有公共內點的n塊S1,... , Sn，且每一塊仍是光滑曲面，在每個S上取一點P，過P作S的切平面T，將s投影到T上，所有這些投影的面積之和的極限(當所有S的直徑趨於零時)如果存在，就是曲面S的面積，對有界簡單光滑曲面而言，這樣的極限總是存在的，而且與曲面的光滑等價的參數表示的選擇無關。

C. 曲面面積公式如何推導出來的

曲面r(x,y)=(x,y,f(x,y)）以(x,y)為參數，其兩個自然切向量分別為
rx
=
(1,
0,
fx)
ry
=
(0,
1,
fy)
其中rx表示r對x的偏導，其餘符號類似。
因為向量n=(
-fx,
-fy,
1)
和rx,
ry都垂直，所以
n
是曲面在p=r(x,y)處的法向量，也就是過p點的切平面P的法向量。
令k=(0,
0,
1)是z軸單位正方向，也就是xy平面的法向量，這樣P和xy平面的夾角就等於n和k的夾角，其餘弦等於
/|n||k|
=
1
/
\sqrt(fx^2+fy^2+1)
其中
\sqrt
表示開方。

D. 高等數學曲面積分問題

第1題，是第二類曲面積分，曲面是拋物面，在各個坐標面上投影，分別是

兩個類似的拋物線與水平線圍成的平面、一個圓，

分別計算這些投影面上的平面積分，最終相加即可。

當然，還有第二種方法，就是利用高斯公式：

P=y-4

Q=z+3

R=x+1

求各個偏導之後，正好得到曲面面積，即圓面積πa^2

E. 高等數學 重積分應用 曲面面積

這部分應該是曲面積分的知識了。
{ z = √(x² + y²)
{ z² = 2x
x² + y² ≤ 2x
(x - 1)² + y² ≤ 1、在xoy面投影的區域D
√[1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²] = √[1 + x²/(x² + y²) + y²/(x² + y²)] = √[2(x² + y²)/(x² + y²)] = √2
曲面面積 = ∫∫Σ dS
= ∫∫D √2 dxdy
= √2∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→2cosθ) r dr
= 2√2(0→π/2) [r²/2]|(0→2cosθ) dθ
= 2√2∫(0→π/2) (1/2) * 4cos²θ dθ
= 4√2 * 1/2 * π/2
= √2π

F. 請問高數中對坐標的曲面積分的計演算法中的轉換投影法是怎麼轉換的

曲面法向量方向餘弦前兩個cosA與cosB的正負號與第三個cosr相反。

曲面Z=x^2+y^2的法向量為n=(-2x, -2y, 1)。

那麼曲面在三個坐標平面上的投影滿足：

dydz：dzdx：dxdy=(-2x)：(-2y)：1。

所以，dydz= -2xdxdy，dzdx= -2ydxdy。

曲面積分

平面面積(Δσ)是曲面面積(ΔS)在xOy面下的投影。

曲面積分中有與不同面對應的三個方向餘弦。

對於yoz面，dydz = cosα dS。

對於zox面，dzdx = cosβ dS。

對於xoy面，dxdy = cosγ dS。

其中dydz、dzdx、dxdy分別是dS在三個不同的面下的面積投影區域。

考慮在xoy面上，γ是曲面dS在某一點的法向量與z軸之間形成的夾角。

G. 數學：旋轉曲面面積公式的推導

以曲邊梯形的面積為例：

設f為閉區間[a，b]上的連續函數，且f（x）≥0。由曲線y=f(x)，直線x=a,x=b以及x軸所圍成的平面圖形（圖9-1），稱為曲邊梯形，下面討論曲邊梯形的面積。

作法：（i）分割。在區間[ a，b]內任取n-1個分點，它們依次為a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，這些點把[a,b]分割成n個小區間[xi－1, xi],I=1,2,…n.再用直線x= xi,i=1,2,…，n-1把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形。

（ii）近似求和。在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點，作以f(x)為高，[xi-1,xi]為底的小矩形。當分割[a,b]的點分點較多，又分割得較細密時，由於f為連續函數，它在每個小區間上的值變化不大，從而可用這些小矩形的面積近似替代相應小曲邊梯形的面積。n個小矩形面積之和就可作為該曲邊梯形面積S的近似值。

(7)高等數學曲面面積的計算方法擴展閱讀：

旋轉曲面是一類特殊的曲面，它是一條平面曲線繞著它所在的平面上一條固定直線旋轉一周所生成的曲面。該固定直線稱為旋轉軸，該旋轉曲線稱為母線。曲面和過旋轉軸的平面的交線稱為經線或子午線，曲面和垂直於旋轉軸的平面的交線稱為緯線或平行圓。

例如：球面是由圓繞著其直徑旋轉而成；環面是由圓繞著外面的一條直線旋轉而成。

H. 如何計算曲面的面積

計算曲面的面積：曲面r(x,y)=(x,y,f(x,y)）以(x,y)為參數,其兩個自然切向量分別為r（x） = (1, 0, fx)ry = (0, 1, fy)其中rx表示r對x的偏導,其餘符號類似.令k=(0, 0, 1)是z軸單位正方向,也就是xy平面的法向量,這樣P和xy平面的夾角就等於n和k的夾角,其餘弦等於/|n||k| = 1 /sqrt(fx^2+fy^2+1)其中 sqrt 表示開方.因為向量n=( -fx, -fy, 1) 和rx, ry都垂直,所以 n 是曲面在p=r(x,y)處的法向量,也就是過p點的切平面P的法向量.