線性代數和計算方法區別

⑴ 高等代數怎麼學能學好和線性代數有什麼區別

• 先談談高等代數怎麼學能學好

本人學的專業就是數學與應用數學，該專業有兩門基礎課程，其中一門課程就是高等代數，如今考上研了，而且高等代數是數學專業考研必考科目，所以對於「高等代數怎麼學能學好？」這個問題，我可以給出經驗比較豐富的回答。下面跟我一起來了解如何學好高等代數吧。

⑵ 線性代數中R(AB)與R(A,B)的區別

一、表達概念不同

1、R(AB)：AB表示A乘以B。

2、R(A,B)：A,B表示A和B並在一起。

二、計算方法不同

1、R(AB)：若A中至少有一個r階子式不等於零，且在r<min(m,n)時，A中所有的r+1階子式全為零，則A的秩為r。

在m*n矩陣A中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。

2、R(A,B)：當r(A)<=n-2時，最高階非零子式的階數<=n-2，任何n-1階子式均為零，而伴隨陣中的各元素就是n-1階子式再加上個正負號，所以伴隨陣為0矩陣。

例如，在階梯形矩陣中，選定1，3行和3，4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式就是矩陣A的一個2階子式。

三、計算結果不同

1、R(AB)：r(kA)=r(A)，k不等於0。

2、R(A,B)：r(A)<=min(m,n)，A是m*n型矩陣。

⑶ 線性代數中行列式與矩陣在計算是有什麼區別

行列式是算式。矩陣是數表。
行列式算出來是不同行不同列所有元素之積的和，行列式實質上是一個數字。矩陣是方程組抽象出的一張數表
矩陣M*N階對應著M行N列方程組。行列式需要行列相等的。
計算的話，解矩陣，就是化簡，實質就是解方程，將方程化簡，只能用行變換。
有時要用求秩，則行列變換皆可。矩陣可與向量對應。
解行列式其實就是求算式，就跟解加減法樣的，按規則做行列變換化為上下三角陣或某行只剩餘一個非零元素拆出來等等。

⑷ 線性代數知識點總結

線性代數知識點總結

線性代數知識在學習的幾個階段都有相關的知識點出現，下面線性代數知識點總結是我為大家整理的，在這里跟大家分享一下。

線性代數知識點總結1

線性代數在考研數學中佔有重要地位，必須予以高度重視。線性代數試題的特點比較突出，以計算題為主，證明題為輔，因此，太奇考研專家們提醒廣大的2013年的考生們必須注重計算能力。線性代數在數學一、二、三中均佔22%，所以考生要想取得高分，學好線代也是必要的。下面，就將線代中重點內容和典型題型做了總結，希望對2012年考研的同學們學習有幫助。

行列式在整張試卷中所佔比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內容，不只是考察行列式的概念、性質、運算，與行列式有關的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特徵值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，必然會在其他章、節的試題中得以體現。行列式的重點內容是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開公式將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質對行列式進行恆等變形，化簡之後再展開。另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三對角行列式、爪型行列式等等）的計算方法也應掌握。常見題型有：數字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算。關於每個重要題型的具體方法以及例題見《20xx年全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精解》。

矩陣是線性代數的核心，是後續各章的基礎。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數的始終。這部分考點較多，重點考點有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程。涉及伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。這幾年還經常出現有關初等變換與初等矩陣的命題。常見題型有以下幾種：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關聯的命題、有關初等變換的命題、有關逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程。

向量組的線性相關性是線性代數的重點，也是考研的重點。考生一定要吃透向量組線性相關性的概念，熟練掌握有關性質及判定法並能靈活應用，還應與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯系，從各個側面加強對線性相關性的理解。常見題型有：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題。

往年考題中，方程組出現的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數部分考查的重點內容。本章的重點內容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明、齊次（非齊次）線性方程組的求解（含對參數取值的討論）。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質、齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組的通解結構、兩個方程組的公共解、同解問題。

特徵值、特徵向量是線性代數的重點內容，是考研的重點之一，題多分值大，共有三部分重點內容：特徵值和特徵向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。重點題型有：數值矩陣的特徵值和特徵向量的求法、抽象矩陣特徵值和特徵向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特徵值或特徵向量反求A、有關實對稱矩陣的問題。

由於二次型與它的實對稱矩陣式一一對應的，所以二次型的很多問題都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎。重點內容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標准形等概念；了解二次型的規范形和慣性定理；掌握用正交變換並會用配方法化二次型為標准形；理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。重點題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標准形、二次型正定性的判別。

一、行列式與矩陣

行列式、矩陣是線性代數中的基礎章節，從命題人的角度來看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。

行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應用行列式的性質及按行（列）展開定理化為上下三角行列式求解；而對於抽象行列式而言，考點不在如何求行列式，而在於結合後面章節內容的相對綜合的題。

矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。

二、向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，而其後兩章特徵值和特徵向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。

向量與線性方程組的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。

這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式；二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯系。

（1）齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯系

齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變數都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質「零向量可由任何向量線性表示」。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變數只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變數使上式成立；但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯系——齊次線性方程組是否有非零解對應於系數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。

（2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系

同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是「極大線性無關組中的向量個數」。經過「秩→線性相關、無關→線性方程組解的判定」的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量（基礎解系）線性表示。

（3）非齊次線性方程組與線性表出的聯系

非齊次線性方程組是否有解對應於向量是否可由列向量

三、特徵值與特徵向量

相對於前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性，「牽一發而動全身」。

本章知識要點如下：

1、特徵值和特徵向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。

2、相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同：

3、矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特徵值；二是任意r重特徵根對應有r個線性無關的特徵向量。

4、實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似於以其特徵值為對角元素的對角陣。

四、二次型

這部分所講的內容從根本上講是特徵值和特徵向量的一個延伸，因為化二次型為標准型的核心知識為「對於實對稱矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對角化」，其過程就是上一章實對稱矩陣相似對角化的應用。

本章核心要點如下：

1、用正交變換化二次型為標准型。

2、正定二次型的判斷與證明。

線性代數知識點總結2

線性代數的學習切入點是線性方程組。換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。

線性方程組

線性方程組的特點：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。

關於線性方程組的解，有三個問題值得討論：

1、方程組是否有解，即解的存在性問題；

2、方程組如何求解，有多少個；

3、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯系，即解的結構問題。

高斯消元法

這最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：

1、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；

2、交換某兩個方程的位置；

3、用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。

任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。

由具體例子可看出，化為階梯形方程組後，就可以依次解出每個未知數的值，從而求得方程組的解。

對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數按某種方式構成的表稱為矩陣。

可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。

系數矩陣和增廣矩陣

高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。

階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。

對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關於線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現d=0這一項，則方程組無解，若未出現d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等於未知量數目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無窮多解。

在利用初等變換得到階梯型後，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對於求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決於個人習慣。

齊次方程組

常數項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。

齊次方程組的方程組個數若小於未知量個數，則方程組一定有非零解。

利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為出發點建立起來的最基本理論。

對於n個方程n個未知數的特殊情形，我們發現可以利用系數的某種組合來表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n！項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個數。

通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質都有助於我們更方便的計算行列式。

用系數行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。

總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時引出的一部分內容。

線性代數知識點總結3

線性代數占考研數學總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現。雖然線性代數的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。

矩陣的秩

矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數的重點內容，熟悉掌握了矩陣的相關性質與內容，利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數中的重要作用，使它變為考試考查的重點。矩陣由那麼多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！

通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握，對含參數的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯系地看問題，及時總結結論。

矩陣的特徵值與特徵向量

矩陣的特徵值與特徵向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標准化、規范化的便捷方式，故特徵值與特徵向量也是考查重點。對於特徵值與特徵向量，須理清其相互關系，也須能根據一些矩陣的特殊性求得其特徵值與特徵向量（例如根據矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特徵值，元素均為1的列向量是其對應的特徵向量），會處理含參數的情況。

線性方程組求解

對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數的方程組是考查的重點，對方程組解的`結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題（數學二為22題），已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數並求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數！而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數；非齊次方程組有解故系數矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數及b中的參數。至於確定參數後再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。

二次型標准化與正定判斷

二次型的標准化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特徵值與特徵向量緊密聯系。這里需要掌握一些處理含參數矩陣的方法以便運算中節省時間。正定二次型有很優秀的性質，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬於這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特徵值是否全大於0，順序主子式是否均大於0等，但前者更常用一些。

歷年考研數學真題解析線性代數命題特點解析

考研數學是研究生招生入學考試中通過筆試的形式對考生數學功底的考查，從近幾年的考研數學歷年真題分析結果來看，可以得出一個結論：線性代數的難度在高數和概率統計之間，且大多數的同學認為線性代數試題難度不大，就是計算量稍微偏大點，線代代數的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質進行輔助解決。

線性代數的學科特點是知識點之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個難點。這就需要同學們在復習過程中，注意對於知識點間的關聯性進行對比著學習，有助於鞏固知識點且不易混淆。

總體來說，線性代數主要包括六部分的內容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特徵值與特徵向量、二次型。

一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。

行列式實質上是一個數或含有字母的式子，如何把這個數算出來，一般情況下很少用行列式的定義進行求解，而往往採用行列式的性質將其化成上或下三角行列式進行計算，或是採用降階法（按行或按列展開定理），甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算等等。同學們只要掌握了基本方法即可。

二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應用 。

通過考研數學歷年真題分類統計與考點分布，矩陣部分的考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點。涉及秩的應用，包含秩與矩陣可逆的關系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關系，矩陣等價與向量組等價的區別與聯系，系數矩陣的秩與方程組的解之間關系的分析。

三、向量部分，理解相關無關概念，靈活進行判定。

向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。要求考生掌握線性相關、線性表出、線性無關的定義。以及如何判斷向量組線性相關及線性無關的方法。 向量組的秩和極大無關組以及向量組等價這些重要的知識點要求同學們一定一定掌握到位。

這是線性代數前三個內容的命題特點，而行列式的矩陣是整個線性代數的基礎，對於行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質與結論請考生朋友們一定要務必掌握，否則的話，對於後面四部分的學習會越學越難，希望同學們在復習過程中一定注意前面內容的復習，為後面的考研數學復習打好基礎。

前面我們已經分析過，考研數學線性代數這門學科整體的特點是知識點之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認為考研數學線性代數不好學，根本找不到復習的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎麼分析考慮。

這里，老師要求大家在學習過程中一定要注意知識間之間的關聯性，理解概率的實質。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關聯，矩陣等價與向量組等價的區別，矩陣等價、相似、合同三者之間的區別與聯系、矩陣相似對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區別與聯系等等。若是同學們對於上面的問題根本分不清楚，則說明大家對於基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太焦急，希望同學們在後期的復習過程中對於基本概念、基本方法要多加理解和體會，學習一定要有心得。

下面我們分析一下後面三部分的內容，線性方程組、特徵值與特徵向量、二次型的命題特點。

線性方程組，會求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數這么學科的核心和樞紐，很多問題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問題是每年必考的知識點。對於齊次線性方程組，我們需要掌握基礎解系的概念，以及如何求一個方程組的基礎解系。清楚明了基礎解系所含線性無關解向量的個數和系數矩陣的秩之間的關系。會判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對應的齊次線性方程組的解結構之間的關系。

特徵值與特徵向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特徵值與特徵向量的定義及性質，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學們還需掌握求矩陣特徵值與特徵向量的基本方法。會判斷一個矩陣是否可以對角化，若可以的話，需要把相應的可逆矩陣P求出來。還需要注意矩陣及其關聯矩陣（轉置、逆、伴隨、相似）的特徵值與特徵向量的關系。反問題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特徵值與特徵向量，反求矩陣A。

二次型，理解二次型標准化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是採用正交變換法將二次型標准化。掌握二次型的標准形與規范型之間的區別與聯系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關系。

雖然線性代數在考研數學考試試卷中僅有5題，佔有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學們在復習過程中需要對於基礎知識點理解透徹，做考研數學題過程中多分析總結。

⑸ 線性代數的定義

線性代數是關於向量空間和線性映射的一個數學分支，包括對線、面和子空間的研究，也涉及到所有向量空間的一般性質。 線性代數是純數學和應用數學的核心，它的含義隨著數學的發展而不斷擴大，其理論和方法已經滲透到數學的許多分支，也成為理論物理和理論化學不可缺少的代數基礎知識。

中文名
線性代數

外文名
linear algebra

主要問題
線性關系問題

研究對象
向量、矩陣、行列式

應用
抽象代數、泛函分析

學科
數學

定義與歷史
概念
線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關系問題。線性關系意即數學對象之間的關系是以一次形式來表達的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關於變數是一次的函數稱為線性函數。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

所謂「線性」，指的就是如下的數學關系：。其中，f叫線性運算元或線性映射。所謂「代數」，指的就是用符號代替元素和運算，也就是說：我們不關心上面的x，y是實數還是函數，也不關心f是多項式還是微分，我們統一把他們都抽象成一個記號，或是一類矩陣。合在一起，線性代數研究的就是：滿足線性關系的線性運算元f都有哪幾類，以及他們分別都有什麼性質。

歷史

九章算術
線性代數作為一個獨立的分支在20世紀才形成，然而它的歷史卻非常久遠。「雞兔同籠」問題實際上就是一個簡單的線性方程組求解的問題。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數學著作《九章算術·方程》章中，已經作了比較完整的敘述，其中所述方法實質上相當於現代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。

由於費馬和笛卡兒的工作，現代意義的線性代數基本上出現於十七世紀。直到十八世紀末，線性代數的領域還只限於平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。

隨著研究線性方程組和變數的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀期間先後產生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數的發展。向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯系的矩陣理論，構成了線性代數的中心內容。

凱萊
矩陣論始於凱萊，在十九世紀下半葉，因若當的工作而達到了它的頂點。1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維線性空間。托普利茨將線性代數的主要定理推廣到任意體（domain）上的最一般的向量空間中。線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而不依賴於基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環作為運算元之定義域，這就引向模（mole）的概念，這一概念很顯著地推廣了線性空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。

「代數」這個詞在中文中出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成「阿爾熱巴拉」，直到1859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為「代數學」，之後一直沿用。
學術地位
線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中占居首要地位。在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和演算法基礎的一部分。線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對於強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的。隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變數之間的關系，還要進一步研究多個變數之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由於計算機的發展，線性化了的問題又可以被計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。線性代數的計算方法也是計算數學里一個很重要的內容。

線性代數的含義隨數學的發展而不斷擴大。線性代數的理論和方法已經滲透到數學的許多分支，同時也是理論物理和理論化學所不可缺少的代數基礎知識。

「以直代曲」是人們處理很多數學問題時一個很自然的思想。很多實際問題的處理，最後往往歸結為線性問題，它比較容易處理。因此，線性代數在工程技術和國民經濟的許多領域都有著廣泛的應用，是一門基本的和重要的學科。

如果進入科研領域，你就會發現，只要不是線性的東西，我們基本都不會！線性是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。可以說，不學線性代數，你就漏過了95%的人類智慧！非線性的問題極為困難，我們並沒有足夠多的通用的性質和定理用於求解具體問題。如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向！

事實上，微積分「以直代曲」的思想就是將整體非線性化為局部線性的一個經典的例子，盡管高等數學在定義微分時並沒有用到一點線性代數的內容。許多非線性問題的處理――譬如流形、微分幾何等，最後往往轉化為線性問題。包括科學研究中，非線性模型通常也可以被近似為線性模型。隨著研究對象的復雜化與抽象化，對非線性問題線性化，以及對線性問題的求解，就難免涉及到線性代數的術語和方法了。從這個意義上，線性代數可以被認為是許多近、現代數學分支的共同基礎。

基本介紹
線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關系，在數學上可以理解為一階導數為常數的函數。

非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關系，一階導數不為常數。

線性代數起源於對二維和三維直角坐標系的研究。在這里，一個向量是一個有方向的線段，由長度和方向同時表示。這樣向量可以用來表示物理量，比如力，也可以和標量做加法和乘法。這就是實數向量空間的第一個例子。

向量
現代線性代數已經擴展到研究任意或無限維空間。一個維數為n的向量空間叫做n維空間。在二維和三維空間中大多數有用的結論可以擴展到這些高維空間。盡管許多人不容易想像n維空間中的向量，這樣的向量（即n元組）用來表示數據非常有效。由於作為n元組，向量是n個元素的「有序」列表，大多數人可以在這種框架中有效地概括和操縱數據。比如，在經濟學中可以使用 8 維向量來表示 8 個國家的國民生產總值（GNP）。當所有國家的順序排定之後，比如（中國、美國、英國、法國、德國、西班牙、印度、澳大利亞），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）顯示這些國家某一年各自的 GNP。這里，每個國家的 GNP 都在各自的位置上。

作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬於抽象代數的一部分，而且已經非常好地融入了這個領域。一些顯著的例子有：不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環。線性代數也在數學分析中扮演重要角色，特別在向量分析中描述高階導數，研究張量積和可交換映射等領域。

向量空間是在域上定義的，比如實數域或復數域。線性運算元將線性空間的元素映射到另一個線性空間（也可以是同一個線性空間），保持向量空間上加法和標量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個向量空間。如果一個線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個數表，稱為矩陣。對矩陣性質和矩陣演算法的深入研究（包括行列式和特徵向量）也被認為是線性代數的一部分。

我們可以簡單地說數學中的線性問題——-那些表現出線性的問題——是最容易被解決的。比如微分學研究很多函數線性近似的問題。在實踐中與非線性問題的差異是很重要的。

線性代數方法是指使用線性觀點看待問題，並用線性代數的語言描述它、解決它（必要時可使用矩陣運算）的方法。這是數學與工程學中最主要的應用之一。

⑹ 線性代數,矩陣對角化與二次型標准化,計算方法有什麼區別

我線性代數已經學完很久了
具體證明出來的，我肯定推不出來
但是我知道是幾階矩陣，就是幾次方。肯定對的
你可以按我說的，自己推一下
.
.
明白了，就採納啊，別讓我白幫你

⑺ 線性代數的解題方法和運算方法

1、行列式
1. 行列式共有 個元素，展開後有 項，可分解為 行列式；
2. 代數餘子式的性質：
①、 和 的大小無關；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數餘子式為0；
③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數餘子式為 ；
3. 代數餘子式和餘子式的關系：
4. 設 行列式 ：
將 上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為 ，則 ；
將 順時針或逆時針旋轉 ，所得行列式為 ，則 ；
將 主對角線翻轉後（轉置），所得行列式為 ，則 ；
將 主副角線翻轉後，所得行列式為 ，則 ；
5. 行列式的重要公式：
①、主對角行列式：主對角元素的乘積；
②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ；
③、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；
④、 和 ：副對角元素的乘積 ；
⑤、拉普拉斯展開式： 、
⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；
⑦、特徵值；
6. 對於 階行列式 ，恆有： ，其中 為 階主子式；
7. 證明 的方法：
①、 ；
②、反證法；
③、構造齊次方程組 ，證明其有非零解；
④、利用秩，證明 ；
⑤、證明0是其特徵值；
2、矩陣
1. 是 階可逆矩陣：
（是非奇異矩陣）；
（是滿秩矩陣）
的行（列）向量組線性無關；
齊次方程組 有非零解；
， 總有唯一解；
與 等價；
可表示成若干個初等矩陣的乘積；
的特徵值全不為0；
是正定矩陣；
的行（列）向量組是 的一組基；
是 中某兩組基的過渡矩陣；
2. 對於 階矩陣 ： 無條件恆成立；
3.

4. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；
5. 關於分塊矩陣的重要結論，其中均 、 可逆：
若 ，則：
Ⅰ、 ；
Ⅱ、 ；
②、 ；（主對角分塊）
③、 ；（副對角分塊）
④、 ；（拉普拉斯）
⑤、 ；（拉普拉斯）
3、矩陣的初等變換與線性方程組
1. 一個 矩陣 ，總可經過初等變換化為標准形，其標准形是唯一確定的： ；
等價類：所有與 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標准形為其形狀最簡單的矩陣；
對於同型矩陣 、 ，若 ；
2. 行最簡形矩陣：
①、只能通過初等行變換獲得；
②、每行首個非0元素必須為1；
③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；
3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置後採用初等行變換）
①、 若 ，則 可逆，且 ；
②、對矩陣 做初等行變化，當 變為 時， 就變成 ，即： ；
③、求解線形方程組：對於 個未知數 個方程 ，如果 ，則 可逆，且 ；
4. 初等矩陣和對角矩陣的概念：
①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；
②、 ，左乘矩陣 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；
③、對調兩行或兩列，符號 ，且 ，例如： ；
④、倍乘某行或某列，符號 ，且 ，例如： ；
⑤、倍加某行或某列，符號 ,且 ，如： ；
5. 矩陣秩的基本性質：
①、 ；
②、 ；
③、若 ，則 ；
④、若 、 可逆，則 ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）
⑤、 ；（※）
⑥、 ；（※）
⑦、 ；（※）
⑧、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（※）
Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解（轉置運算後的結論）；
Ⅱ、
⑨、若 、 均為 階方陣，則 ；
6. 三種特殊矩陣的方冪：
①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量） 行矩陣（向量）的形式，再採用結合律；
②、型如 的矩陣：利用二項展開式；
二項展開式： ；
註：Ⅰ、 展開後有 項；
Ⅱ、
Ⅲ、組合的性質： ；
③、利用特徵值和相似對角化：
7. 伴隨矩陣：
①、伴隨矩陣的秩： ；
②、伴隨矩陣的特徵值： ；
③、 、
8. 關於 矩陣秩的描述：
①、 ， 中有 階子式不為0， 階子式全部為0；（兩句話）
②、 ， 中有 階子式全部為0；
③、 ， 中有 階子式不為0；
9. 線性方程組： ，其中 為 矩陣，則：
①、 與方程的個數相同，即方程組 有 個方程；
②、 與方程組得未知數個數相同，方程組 為 元方程；
10. 線性方程組 的求解：
①、對增廣矩陣 進行初等行變換（只能使用初等行變換）；
②、齊次解為對應齊次方程組的解；
③、特解：自由變數賦初值後求得；
11. 由 個未知數 個方程的方程組構成 元線性方程：
①、 ；
②、 （向量方程， 為 矩陣， 個方程， 個未知數）
③、 （全部按列分塊，其中 ）；
④、 （線性表出）
⑤、有解的充要條件： （ 為未知數的個數或維數）
4、向量組的線性相關性
1. 個 維列向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ；
個 維行向量所組成的向量組 ： 構成 矩陣 ；
含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；
2. ①、向量組的線性相關、無關 有、無非零解；（齊次線性方程組）
②、向量的線性表出 是否有解；（線性方程組）
③、向量組的相互線性表示 是否有解；（矩陣方程）
3. 矩陣 與 行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組 和 同解；( 例14)
4. ；( 例15)
5. 維向量線性相關的幾何意義：
①、 線性相關 ；
②、 線性相關 坐標成比例或共線（平行）；
③、 線性相關 共面；
6. 線性相關與無關的兩套定理：
若 線性相關，則 必線性相關；
若 線性無關，則 必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）
若 維向量組 的每個向量上添上 個分量，構成 維向量組 ：
若 線性無關，則 也線性無關；反之若 線性相關，則 也線性相關；（向量組的維數加加減減）
簡言之：無關組延長後仍無關，反之，不確定；
7. 向量組 （個數為 ）能由向量組 （個數為 ）線性表示，且 線性無關，則 (二版 定理7)；
向量組 能由向量組 線性表示，則 ；（ 定理3）
向量組 能由向量組 線性表示
有解；
（ 定理2）
向量組 能由向量組 等價 （ 定理2推論）
8. 方陣 可逆 存在有限個初等矩陣 ，使 ；
①、矩陣行等價： （左乘， 可逆） 與 同解
②、矩陣列等價： （右乘， 可逆）；
③、矩陣等價： （ 、 可逆）；
9. 對於矩陣 與 ：
①、若 與 行等價，則 與 的行秩相等；
②、若 與 行等價，則 與 同解，且 與 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性；
③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；
④、矩陣 的行秩等於列秩；
10. 若 ，則：
①、 的列向量組能由 的列向量組線性表示， 為系數矩陣；
②、 的行向量組能由 的行向量組線性表示， 為系數矩陣；（轉置）
11. 齊次方程組 的解一定是 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；
①、 只有零解 只有零解；
②、 有非零解 一定存在非零解；
12. 設向量組 可由向量組 線性表示為：（ 題19結論）
（ ）
其中 為 ，且 線性無關，則 組線性無關 ；（ 與 的列向量組具有相同線性相關性）
（必要性： ；充分性：反證法）
註：當 時， 為方陣，可當作定理使用；
13. ①、對矩陣 ，存在 ， 、 的列向量線性無關；（ ）
②、對矩陣 ，存在 ， 、 的行向量線性無關；
14. 線性相關
存在一組不全為0的數 ，使得 成立；（定義）
有非零解，即 有非零解；
，系數矩陣的秩小於未知數的個數；
15. 設 的矩陣 的秩為 ，則 元齊次線性方程組 的解集 的秩為： ；
16. 若 為 的一個解， 為 的一個基礎解系，則 線性無關；（ 題33結論）
5、相似矩陣和二次型
1. 正交矩陣 或 （定義），性質：
①、 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即 ；
②、若 為正交矩陣，則 也為正交陣，且 ；
③、若 、 正交陣，則 也是正交陣；
注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化和單位化；
2. 施密特正交化：
；

;
3. 對於普通方陣，不同特徵值對應的特徵向量線性無關；
對於實對稱陣，不同特徵值對應的特徵向量正交；
4. ①、 與 等價 經過初等變換得到 ；
， 、 可逆；
， 、 同型；
②、 與 合同 ，其中可逆；
與 有相同的正、負慣性指數；
③、 與 相似 ；
5. 相似一定合同、合同未必相似；
若 為正交矩陣，則 ，（合同、相似的約束條件不同，相似的更嚴格）；
6. 為對稱陣，則 為二次型矩陣；
7. 元二次型 為正定：
的正慣性指數為 ；
與 合同，即存在可逆矩陣 ，使 ；
的所有特徵值均為正數；
的各階順序主子式均大於0；
；(必要條件)

⑻ 線性代數,矩陣對角化與二次型標准化,計算方法有什麼區別

一個方陣並不一定可以對角化，即使可以對角化，其特徵向量不一定正交（或者正交化）。如果是實對稱陣，則一定可以對角化，且可以找到正交陣使其對角化，此時對角化與二次型的標准化是相同的。
二次型標准化的一般含義是找一個可逆矩陣C，使得(C^T)AC為對角陣。這個C並不一定要是正交陣。如果要求C為正交陣，則同時也是相似對角化。

⑼ 線代是什麼意思

線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用於抽象代數和泛函分析中；通過解析幾何，線性代數得以被具體表示。

線性代數的理論已被泛化為運算元理論。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。

線性代數在數學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在各種代數分支中占居首要地位。在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和演算法基礎的一部分。

線性代數所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對於強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的。

隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變數之間的關系，還要進一步研究多個變數之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由於計算機的發展，線性化了的問題又可以被計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。線性代數的計算方法也是計算數學里一個很重要的內容。

(9)線性代數和計算方法區別擴展閱讀：

線性代數是一個成功的理論，其方法已被應用於數學的其他分支。模論就是將線性代數中的標量的域用環替代，並進行研究，像線性無關、線性生成空間、基底、秩等概念仍然可以適用。

不過許多線性代數中的定理在模論中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模稱為自由模），自由模的秩不唯一，不是所有模中的線性無關的子集都可以延伸成為基底，也不是所有模生成空間的子集都包括基底。

多重線性代數推廣線性代數的方法。和線性代數一樣也是建立在向量的概念上，發展向量空間的理論。在應用上，出現許多類型的張量。

在運算元的譜理論中，通過數學分析，可以控制無限維矩陣。泛函分析混合線性代數和數學分析中的方式，研究許多不同函數空間，例如Lp空間。