高數暴力計算方法

⑴ 高數 極限

關於極限的計算方法有很多，應用也很靈活，往往在一道題中，我們需要綜合使用多種方法。因此，對極限的計算方法進行總結，提煉出一些實用的技巧，有助於提高計算的速度和准確度，從而能夠提高考試的分數，甚至改變自己的命運！

1、利用四則運演算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限分別為都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，

且有 （1）lim [f(x)±g(x)]=A±B;

（2）lim f(x)·g(x)=A·B;

（3）lim（f(x)/g(x)）=A/B(B≠0).

分析：極限的四則運演算法則是極限的基本法則，直接利用四則運演算法則的題目往往難度都不大，在大學的期末考試或者研究生入學考試中一般不會只考察這一個知識點，往往需要結合其他的方法或者需要對式子進行化簡和變形。

點評：對於這種兩個分式差的表達式，對其進行化簡只有一個方向，就是通分，通分後可以消掉為0的因子，然後利用極限的四則運演算法則及函數的連續性即可求得。

點評：這個例題中的分子分母都是多項式，對於這一類題我們可以在分子分母上同時除以多項式的最高次冪，然後利用極限的四則運演算法則進行計算，這一類題的結果有如下公式，利用這個公式的結論，沒有太大的難度。

2、利用函數連續性

初等函數在其定義域D內是連續的，若x∈D，則有

這種情況下，函數的極限值與函數值相等，因此只需把數值代入函數表達式即可。但這種考題在考研的考試中不會直接出現，往往須與其他方法結合起來。

連續（圖片來自：視覺中國）

（1）分子分母出現為0的公因式

方法：先對分子分母進行因式分解，約掉為0因式後再根據連續性計算。

■注1 本題也可用洛必達法則。

（2）分子或分母含有無理式

方法：對含有無理式的函數，需要進行分子或分母有理化，再計算。

點評 無理式在分母上大家很容易想到分母有理化，而對這種看似不是分式的表達式，往往想不到要用有理化，但這這道題表達式可以看作分母為1的分式，然後進行分子有理化，再利用連續性可得到結果。

3、利用兩個重要極限

兩個重要極限是計算函數極限的重要方法，利用這兩個結論能有效的將許多復雜的極限變得簡化，從而能迅速計算出函數的極限。

第一個重要極限

第一個重要極限

第一個重要極限本身很簡單，但它存在多種形式的變形，這些變形後的公式在做題過程中可以直接應用。

第一個重要極限及其變形

■注2 函數形式中的□可以是滿足條件的任意函數。

第二個重要極限

第二個重要極限

第二個重要極限的變形

■注3 和第一個重要極限的變形類似，這兩個公式里的x和u也可以是函數形式。

點評 第二個重要極限本身並不難，難的是如何湊出極限的形式，使得所湊的式子直接可以表示成e的冪函數形式。

解法一

點評 這個例題可以採用這兩種解法，第一種方法雖然分子分母分別計算極限，但在湊第二個重要極限時結構比較簡單；第二種方法在湊第二個重要極限時需要注意冪上的

⑵ 為什麼limx→0(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)為什麼不能直接等價替換成x，高數求極限

替換的條件是要滿足limx→0 f(x)=0，就是要求分子或分母是在x→0時的無窮小。分子不滿足條件，當然不能換。這個根據無窮大和無窮小的關系可知，極限不存在，為∞。

極限的求法有很多種：

1、連續初等函數，在定義域范圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函數的極限值就等於在該點的函數值。

2、利用恆等變形消去零因子（針對於0/0型）。

3、利用無窮大與無窮小的關系求極限。

4、利用無窮小的性質求極限。

5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算。

6、利用兩個極限存在准則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限。

⑶ 高數常見函數求導公式

高數常見函數求導公式如下圖：

求導是數學計算中的一個計算方法，它的定義就是，當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。

在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。不連續的函數一定不可導。

(3)高數暴力計算方法擴展閱讀：

一階導數表示的是函數的變化率，最直觀的表現就在於函數的單調性，定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b)內具有一階導數，那麼：

（1）若在(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞增；

（2）若在(a,b)內f』(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞減；

（3）若在(a,b)內f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）於x軸的直線，即在[a,b]上為常數。

函數的導數就是一點上的切線的斜率。當函數單調遞增時，斜率為正，函數單調遞減時，斜率為負。

導數與微分：微分也是一種線性描述函數在一點附近變化的方式。微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來說，可微與可導是完全等價的。

可微的函數，其微分等於導數乘以自變數的微分dx，換句話說，函數的微分與自變數的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。函數y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。