‘壹’ 如何用最简便的实验方法证明某溶液为KCl溶液.
取样，滴加硝酸银出现白色沉淀说明有Cl，焰色实验显紫色说明有K。
‘贰’ 20-19+18-17+...+4-3+2-1用简便方法算
简便方法如下：
通过观察发现像（20-19）这样的组合总共有10组，并且（20-19）=1，所以结果为10×1=10
拓展内容：
数学怎样找规律
一、简介
找规律填空的意义实际上在于加强对于一般性的数列规律的熟悉，虽然它有很多解，但主要是培养你寻找数列一般规律和猜测数列通项的能力（即运用不完全归纳法的能力），以便于在碰到一些不好通过一般方法求通项的数列时，能够通过前几项快速准确地猜测到这个数列的通项公式，然后再用数学归纳法或反证法或其它方法加以证明，绕过正面的大山，快速地得到其通项公式。所以找规律填空还是有助于我们增强解一些有难度又有特点的数列的。
1,2,4,7,11,16,（22）,（29）, ——相差为：1，2，3，4，5，6，…
2,5,10,17,26,（37）,（50）, ——相差为：3，5，7，9，…
0,3,8,15,24，（35）,（48），——相差为：3，5，7，9，…
找规律填空:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,49-25=24.
二、方法
1、基本方法——看增幅
①如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2
②如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：〔3+（2n-1）〕×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1
所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。
②增幅不相等，但是，增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.
③增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
2、基本技巧
①标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包括序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。试按此规律写出的第100个数是1002-1,第n个数是n2-1。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号：1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n项n2-1，第100项是1002-1。
②公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n2、n3,或2n、3n有关。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（（2n-1）2），
1，2，3，4，5．.....，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
③看例题：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且............即：n3+1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：2n
④有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用①，②，③技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……，序列号：1、2、3、4、5 分析观察可得，新数列的第n项为：n2-1，所以题中数列第n项为：（n2-1）+2＝n2+1
⑤有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例： 4，16，36，64，？，144，196，…？（第一百个数）
同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方。得到新数列第n项即n2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4 n2，则求出第一百个数为4*1002=40000。
⑥同技巧④，⑤一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、除的不太常见。
⑦观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
3、基本步骤
①先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。
②如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律
③如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律
网络网络 找规律
‘叁’ 设计一个简便易行的小实验，以证明地转偏向力的存在。写出实验用材、实验步骤和所得结论。
| 实验用材：有轴的球状物，地球仪，撑开的雨伞，墨水和清水等。 实验步骤： 1．将球状物的虚拟北极点向上，在球状物上滴适量的墨水滴， 2．正确模拟地球自转方向，进行旋转， 3．观察并描述墨滴流痕的偏转方向， 4．再将虚拟南极点向上，重复2、3步骤，但偏转方向与2步骤相反。 实验结论：通过本实验，可证明地表物体做水平运动时，运动方向会发生偏转，在北半球向右偏，南半球左偏。 |
‘肆’ 柯西不等式的简便证明方法
证明：二维形式的证明(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈R)
=a^2·c^2 +b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2
=a^2·c^2 +2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2－2abcd+b^2·c^2
=(ac+bd)^2+(ad－bc)^2
≥(ac+bd)^2,等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立.
三角形式的证明√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
证明：[√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)]^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2·√(a^2+b^2)·√(c^2+d^2)
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2|ac+bd|
≥a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)
=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2
=(a+c)^2+(b+d)^2
两边开根号即得 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]
注：| |表示绝对值.
向量形式的证明令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn)
m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos
∵cos≤1
∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)
注：“√”表示平方根.
一般形式的证明(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
证明：
等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.共n2 /2项
等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+.共n2 /2项
用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证
推广形式的证明
推广形式为 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)
证明如下
记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….
由平均值不等式得
(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)
……
上述m个不等式叠加得
1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…
即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…
即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n
因此,不等式(*)成立.
（注：推广形式即为卡尔松不等式）
‘伍’ 设计一个简便易行的小实验，以证明地转偏向力的存在。写出实验步骤和所得结论。
| 实验用材： 有轴的球状物（如地球仪、撑开的雨伞），墨水（或清水等）。 实验步骤： ①将球状物的虚拟北极点向上，在球状物上滴适量的墨水滴； ②正确模拟地球自转方向，进行旋转； ③观察并描述墨滴溜痕的偏转方向； ④再将虚拟南极点向上，重复②、③步骤，但偏转方向与②相反。 实验结论： 通过本实验可以证明，地表物体做水平运动时，运动方向会发生偏转，北半球向右偏，南半球向左偏。 |
‘陆’ 试用三种方法证明:a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA
利用正弦定理a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC,r为三角形ABC外接圆半径
代入证明等式即证sinA=sinBcosC+sinCcosB，右边=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA=左边。同理证另外2个等式
这是最直接的方法了。
‘柒’ 请设计一种简便的实验方法证明高锰酸钾水溶液中是哪一种离子会显示颜色的:
高锰酸钾水溶液中离子只有两种：高锰酸跟和钾离子。配置相同浓度氯化钾溶液，发现其水溶液无色，所以可知钾离子无色，所以显色的是高锰酸跟。
‘捌’ 请问证明戴维宁定理时有什么简便方法
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；
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‘玖’ 这个极限咋用简便方式证明
不证
‘拾’ 高中数学不等式证明的八种方法
不等式证明知识概要
河北/赵春祥
不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1 B3 … BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有…，这只需证明B2为真，从而又有…，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。
6.放缩法放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。
二、难点突破
1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。
2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。
3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。
4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。
5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。
6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。
（摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日）
1、比较法（作差法）
在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求证： 。
证明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。
例2、求证： 。
证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、综合法
证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。
例3、已知： ， 同号，求证： 。
证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。
4、作商法（作比法）
在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。
例4、设 ，求证： 。
证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反证法
先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。
例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。
证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。
例6、已知： ， ，求证： 。
证明：因为 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式获证。
7、放缩法（增减法、加强不等式法）
在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。
例7、求证： 。
证明：令 ，则
，
所以 。
8、数学归纳法
对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。
例8、已知： ， ， ，求证： 。
证明：（1）当 时， ，不等式成立；
（2）若 时， 成立，则
= ，
即 成立。
根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。
9、换元法
在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。
例9、已知： ，求证： 。
证明：设 ， ，则 ，
（因为 ， ），
所以 。
10、三角代换法
借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。
例10、已知： ， ，求证： 。
证明：设 ，则 ；设 ，则
所以 。
11、判别式法
通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。
例11、设 ，且 ，求证： 。
证明：设 ，则
代入 中得 ，即
因为 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、标准化法
形如 的函数，其中 ，且
为常数，则当 的值之间越接近时， 的值越大（或不变）；当 时， 取最大值，即
。
标准化定理：当A+B为常数时，有 。
证明：记A+B=C，则
，
求导得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的极大值点必在A=B时取得
由于当A=B时， ，故得不等式。
同理，可推广到关于 个变元的情形。
例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证： 。
证明：由标准化定理得，当A=B=C时， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。
例13（1956年波兰数学竞赛题）、 为 的三边长，求证：
。
证明：由海伦公式 ，
其中 。
两边平方，移项整理得
而 ，所以 。
14、函数极值法
通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。
例14、设 ，求证： 。
证明：
当 时， 取最大值 ；
当 时， 取最小值－4。
故 。
15、单调函数法
当 属于某区间，有 ，则 单调上升；若 ，则 单调下降。推广之，若证 ，只须证 及 即可， 。
例15、 ，求证： 。
证明：当 时， ，而
故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在区间 上有定义的连续函数，且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式，达到简便的目的。
例16、求证： 。
证明：设 ，则
故 。
17、分解法
按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求证： 。
证明：因为
所以 。
18、构造法
在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。
例18、已知： ， ，求证： 。
证明：依题设，构造复数 ， ，则 ，
所以
故 。
19、排序法
利用排序不等式来证明某些不等式。
排序不等式：设 ， ，则有
，其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。
简记作：反序和 乱序和 同序和。
例19、求证： 。
证明：因为 有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 。
20、几何法
借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。
例20、已知： ，且 ，求证： 。
证明：以 为斜边， 为直角边作
延长AB至D，使 ，延长AC至E，使 ，过C作AD的平行线交DE于F，则 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。
另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。
在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。
参考文献
[1]李玉琪主编•初等代数研究•北京：中国矿业大学出版社，1993
[2]方初宝等编•数学猜想法浅谈•重庆：科技文献出版社重庆分社，1988
[3]吴德风•不等式与线性规划初步•北京：科学普及出版社，1983