十种逆矩阵的解决方法

㈠ 求逆矩阵

求逆矩阵常用的有两种方法：

1. 伴随阵法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式的值，A*为矩阵A的伴随矩阵。

2. 行初等变换法：(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。

   注意：初等变化只用行（列）运算，不能用列（行）运算。E为单位矩阵。

3. 一般计算中，或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵：

   1 秩等于行数

   2 行列式不为0

   3行向量(或列向量)是线性无关组

   4 存在一个矩阵，与它的乘积是单位阵

   5 作为线性方程组的系数有唯一解

   6 满秩

   7 可以经过初等行变换化为单位矩阵

   8伴随矩阵可逆

   9 可以表示成初等矩阵的乘积

   10 它的转置矩阵可逆

   11 它去左(右)乘另一个矩阵，秩不变

4. 可逆矩阵的性质

   1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。

   2可逆矩阵一定是方阵。

   3 如果矩阵A是可逆的，A的逆矩阵是唯一的。

   4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。

   5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

   6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。

   7矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

5. 求解逆矩阵的举例，对于如下行列式A：（以二阶方阵为例）

   |3 0|

   |2 1|

   对于元素3，其代数余子式是（-1）^(1+1)*1=1；对于元素0，其代数余子式是（-1）^(1+2)*2=-2；对于元素2，其代数余子式是（-1）^(2+1)*0=0；对于元素1，其代数余子式是（-1）^(2+2)*3=3，所以矩阵A的伴随阵A*是：

   |1 0|

   |-2 3|
   而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^（-1）=(1/|A|)*(A*)=

   1/3|1 0|

|-2 3|

㈡ 计算逆矩阵有那些常用方法

在线性代数中逆矩阵是按其伴随矩阵定义的，若则方阵可逆，且，其中为的伴随矩阵。要计算个阶的列式才能得到一个伴随矩阵，在数值计算中因其计算工作量大而不被采用。通常对做行的初等的效换，在将化成的过程中得到。在数值计算中，这仍然是一种行之有效的方法。

由逆矩阵的定义 令，有

化为个方程组

j

是第个分量为1，其余分量为0的维向量。或记为：。

用直接法或迭代法算出也就完成了逆矩阵计算。

如果依次对用高斯若尔当消元法，组合起来看有（当然也能组合起来做）：

这正是在线性代数中用初等变换计算逆矩阵的方法。

由此可见，计算一个阶逆矩阵的工作量相当于解个线性方程组。在数值计算中常常将计算矩阵逆的问题转化为解线性方程组的问题。

例如，已知方阵和向量有迭代关系式，在计算中不是先算出，再作与的乘积得到；而将作为线性方程组系数矩阵，求解方程组作为常驻数项解出。

㈢ 求逆矩阵的三种方法

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

1. 待定系数法

待定系数法顾名思义是一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

2.伴随矩阵法

3.初等变换法

一般采用的是初等行变换

定义：所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列3种变换：

1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行

2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数

3）互换矩阵中两行的位置

以上就是初等变换法的全部内容，这个方法主要得经常练习，要不然就会解得很慢，要么出错，另外行变换时一定要仔细认真。

以上是求解逆矩阵的三种方法，都需要多加练习，才能熟能生巧。

㈣ 求逆矩阵有什么简便快速方法

简便快速的不一定有，但通常的方法也很有效：
1、初等行变换：对 (AE) 施行初等行变换，把前面的 A 化为单位矩阵，则后面的 E 就化为了 A^-1 。
2、伴随矩阵法：如果 A 可逆，则 A^-1 = 1/|A| * (A^*) 其中 |A| 是 A 的行列式，A^* 是 A 的伴随矩阵。
3、如果 A 是二阶矩阵，倒是有简便快速的方法：主对角交换，副对角取反，再除行列式。这其实仍是伴随矩阵法。

㈤ 逆矩阵的求解方法有几种

行初等变换法,求伴随矩阵法
行初等变换法比较常用，我说明一下其方法以及方法的来源和证明过程。
行初等变换法
:
因为矩阵A可逆，则逆矩阵A-1可逆（AA-1=E
det(AA-1)=detA*detA-1=detE=1
则detA-1!=0）矩阵A经过一系列的初等变换（包括行变换和列变换得到E(需要证明)
证明：（证明前说明一个问题：一个矩阵进行一次行变换相当于左乘一个m阶初等矩阵，进行一次列变换相当于右乘一个n阶初等矩阵（初等矩阵就是由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵（初等变换包括三种方式即：交换矩阵某两行，某两列或者将矩阵的某一行或某一列的k倍加到另一行或另一列去））那么即是p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E(并不是直接得到E,而是一个只与E和O有关的矩阵，但由于qn，pn的行列式都不为0，则得到的与和O有关的矩阵的行列式不为0，则该矩阵为E，这里说明A必须为n阶矩阵)p1*p2*……*pn*A*q1*q2*……qn=E两边同时乘以pn，qn的逆矩阵）则得到A=pn-1*……p1-1*qn-1*……*q1-1）
，那么同理我们可以将A-1表示为A-1=G1*G2*……Gn，(G1、G2……Gn均为初等矩阵)也可以写成A-1=G1*G2*……Gn*E(因为一个矩阵乘以E还是原矩阵)两边同时右乘A,即A-1*A=G1*G2*……Gn*A,则E=G1*G2*……Gn*A,这就是说E经过一系列行初等变换（就是交换E的两行或者将E的某一行的K倍加到另一行去）得到A-1,而A经过与上面相同的行变换得到E,那么我们可以这样表示（A,E）~一系列行变换~（E,A-1），因此我们可以把A,E放在一起形成一个2n阶矩阵，在经过一系列行初等变换，当A变为E时，E变为A-1.

㈥ 求逆矩阵的常用方法

1.待定系数法
2.利用伴随矩阵求逆矩阵
3.初等变换求逆矩阵

㈦ 逆矩阵的计算方法有哪几种

逆矩阵的求法主要有两种，一种是利用伴随矩阵，即A⁻¹=A*/|A|，另一种是利用初等行变换，即（A|E）→（E|A⁻¹）

㈧ 求逆矩阵方法

1、初等变换法

将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

(8)十种逆矩阵的解决方法扩展阅读：

可逆矩阵的性质定理

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T(转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。