三角变换的方法和技巧

Ⅰ 三角函数恒等变换公式是什么

三角恒等变换常用公式有sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ。用于三角函数等价代换，可以化简式子，方便运算。基本可以从三角函数图像中推出诱导公式，也能从诱导公式中延展出其他的公式，其中包括倍角公式，和差化积，万能公式等。

三角恒等变的换解题技巧

三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础。解题思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的。三角函数公式众多，方法灵活多变，熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法可达到事半功倍的效果。

在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等。因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活。

Ⅱ 学三角恒等变换时有什么技巧

切化弦，异化同。
具体的题不同吧
首先共识你必须熟练
正弦余弦的公式变形要敏感一些
然后就是统一角或边的问题

Ⅲ 高中三角函数解题技巧

三角函数变换的方法与技巧 (1)
角的变换
在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。常见角的变换方式有：；；；等等。
例1、已知，求证：。
分析：在条件中的角和 与求证结论中的角是有联系的，可以考虑配凑角。
解：，，

函数名称的变换
三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。
例2 、(2001年上海春季高题)已知 ，试用表示的值。
分析：将已知条件“切化弦”转化为的等式。
解：由已知；

。
常数的变换
在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：，，等等。
例3、(2004年全国高考题)求函数的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所给的式子可联想到。
解：

。
所以函数的最小正周期是，最大值为，最小值为。
公式的变形与逆用
在进行三角变换时，我们经常顺用公式，但有时也需要逆用公式，以达到化简的目的。通常顺用公式容易，逆用公式困难，因此要有逆用公式的意识。教材中仅给出每一个三角公式的基本形式，如果我们熟悉其它变通形式，常可以开拓解题思路。如由可以变通为与；由可变形为等等。
例4、求的值。
分析：先看角，都是，再看函数名，需要切割化弦，最后在化简过程中再看变换。
解：原式(切割化弦)

(逆用二倍角公式)
(常数变换)
(逆用差角公式)
(逆用二倍角公式)。
这里我们给出了四种三角函数的变换方法与技巧，在处理三角函数问题的过程中若能注意到这些变换的方法与技巧，将有利于我们对三角函数这一章内容的理解。
三角函数变换的方法与技巧(2)
在上一部分我们介绍了部分三角函数的娈换技巧与方法，下面我们再介绍四种变换的方法与技巧：
引入辅助角
可化为，这里辅助角所在的象限由的符号确定，角的值由确定。
例5、求的最大值与最小值。
分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。
解：

其中，，
当时，；
当时，。
注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解。
幂的变换
降幂是三角变换时常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用的降幂公式有：，和
等等。降幂并非绝对，有时也需要升幂，如对于无理式常用升幂化为有理式。
例6、化简。
分析：从“幂”入手，利用降幂公式。
解：原式

消元法
如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。
例7、求函数的最值。
解：原函数可变形为：，即
，
解得：，。
变换结构
在三角变换中，常常对条件、结论的结构施行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时须和差与积互化，分解因式，配方等。
例8、化简。
分析：本题从“形式”上看，应把分析式化为整式、故分子分母必有公因式，只需把分子分母化成积的形式。
解：

所以。
九、思路变化
对于一道题，思路不同，方法出随之不同。通过分析，比较，才能选出思路最为简例9、求函数 的最大值。
解：由于，则为点与点()连线的斜率。则斜率最为当连线与半单位圆相切时，如图所示：
此时， 。
捷的方法。

Ⅳ 关于三角函数恒等变换方面有什么好的解题方法啊

1.换元:“1”可以用正弦余弦的平方和代替，乘1除1结果不变。
2。列方程组，有些隐藏条件比如正弦余弦的平方和为1，这个公式和已知条件列二元一次方程组求解。
3。背熟公式。三角函数引导公式有口诀“奇变偶不变，符号看象限”。倍角公式也要记牢。
4。尽量用弦代替切，因为弦的公式比切多。
5。图象方面，把正弦函数，余弦函数，正切函数的性质都记住，记不住就记图象，考试时在草稿纸上把图象画出来，性质就知道了。如果给出的函数很复杂就尽量化简。
6。图象变换：左加右减，上加下减。横向伸n倍则x前乘1/n。纵向伸n倍则该函数整个乘n。
我也就记得这些了，希望能给你点帮助。

Ⅳ 求数学公式——三角恒等变换的记忆方法

1．三角恒等变换的两个原则 (1)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式． (2)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异． 2．三角函数式的化简 (1)化简的要求： ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路： 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法． (3)化简的方法： 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等． 4．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法： 观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等． (2)证明三角条件等式的方法： 首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始，通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等． 答案：B 2．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝() A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x 解析：∵f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x. ∴f(x)＝2＋2x2，∴f(cosx)＝2＋2cos2x＝3＋cos2x. 答案：C 答案：A 答案：A 答案：B 解后反思：要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值． 解后反思：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 方法技巧 1．三角函数式的化简要注意角的变换、三角函数名称的变换、三角式幂次的变换、三角式结构的变换四个方面为解题切入点进行整体分析． 2．三角式的求值与三角恒等式的证明要注意待求角和已知角之间的关系，实现待求角向已知角的转化往往是解题的关键所在． 失误防范 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及到“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解． * 3．进行三角化简的几种解题思路
(1)角的变换：观察各角之间的和、差、倍、半关系，减少角的种类，化异角为同角．
(2)函数名称的变换：观察、比较题设与结论之间，等号左右两边的函数名称的差异，化异名为同名．
(3)常数的变换：常用方式：1＝sin2α＋cos2α＝tan，＝sin等．
(4)次数的变化：常用方式是升次或降次；主要公式是二倍角的余弦公式及其逆向使用．
(5)结构变化：对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变除为乘，或求差等．
考点精练
1.·＝()
A．tanαB．tan2αC．1D.
解析：y＝sin2x＋－
＝sin2x＋cos2x＝sin.
所以T＝π.
解析：原式＝2tanα·＝＝tan2α.
解析：∵β∈，且sinβ＝＜，∴0＜β＜.
cosβ＝＝ ＝，
∴tanβ＝，∴tan2β＝.
∴tan(α＋2β)＝＝＝1.
(1)当0＜α＜时，∵0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
(2)∵tanα＝＞0，且α∈(－π，0)，
∴－π＜α＜－.又0＜β＜，∴0＜2β＜.
∴－π＜α＋2β＜－，故α＋2β＝－.
3．化简：＋＝()
A. B．cosθ C. D．sin2θ
解析：原式＝
＋＝
＋＝＝.
证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ.
两边同除以sinα，得－2cos(α＋β)＝.
4．函数y＝sin2x＋cos2x－的最小正周期等于()
A．π B．2π C. D.
5．已知sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα等于()
A．± B. C．± D.
解析：(sinα＋cosα)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝，而α∈，sinα＋cosα＝sin＞0，
所以sinα＋cosα＝.
题型一三角函数式的化简例1 (1)已知f(α)＝2tanα－，求f；
(2)已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求的值．
解析：(1)f(α)＝2tanα－＝＋＝，
∴f()＝＝8.
(2)原式＝＝.
又tan2θ＝＝－2，解得tanθ＝－，或tanθ＝.
∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，∴tanθ＝－.
故原式＝＝3＋2.
题型二三角函数式的求值例2 已知sinβ＝，tanα＝，求满足下列条件的α＋2β的值．
(1)α∈，β∈；
(2)α∈(－π，0)，β∈.
解后反思：①本例说明了确定角的范围的重要性，虽然tan(α＋2β)＝1，但角的范围不同，故所求角不同．②选择求函数值的方法(设所求角为x)：a.当x∈(0，π)时，应求cosx或tanx的值；b.当x∈(，π)时，应求tanx或sinx的值；c.当x∈(π，2π)时，应求tanx或cosx的值；d.当x∈(－，)时，应求tanx或sinx的值．
题型三三角恒等式的证明例3 求证：－2cos(α＋β)＝.
随堂反馈
1．已知函数f(θ)＝－＋(0＜θ＜π)．
(1)将f(θ)表示成关于cosθ的多项式；
(2)若a∈R，试求使曲线y＝acosθ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．
解析：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
(2)由2cos2θ＋cosθ－1＝acosθ＋a，
得(cosθ＋1)(2cosθ－1)＝a(cosθ＋1)．
∴cosθ＝，∴－1＜＜1，即－3＜a＜1.
解析：由3sin2α＋2sin2β＝1，得1－2sin2β＝3sin2α，
即cos2β＝3sin2α.
又由3sin2α－2sin2β＝0，得sin2β＝sin2α.
∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α
＝3sin2α·cosα－3cosα·sin2α＝0.
又∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜α＋2β＜270°.
故α＋2β＝90°.
3．求证：＝sin2α.
证明：方法一：
左边＝＝
＝＝
＝sincoscosα＝sinαcosα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二：左边＝＝
＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法三：左边＝＝cos2α·
＝cos2α·tanα＝cosαsinα
＝sin2α＝右边．
∴原式成立．

Ⅵ 三角函数函数名称变换方法

名称转化,其实非常简单
首先要知道任意角的三角函数在各个象限的正负.
记忆：一全正,二正弦,三正切,四余弦
接下来就是技巧了,先把直角坐标画出来,然后先把要加或者减的角度在直角坐标里标出来,再加或者减那个锐角,观察在哪个象限,按照三角函数的正负号判断是正值或者负值.只有加或者减的那个角度是90°的奇数倍,才需要改变名称.
比如：sin(180°-a)
先在直角坐标轴中标出180°,也就是x轴的负半轴,然后减去一个锐角a,就是在第二象限,第二象限中正弦为正值,180°是90°的偶数倍,所以名称不用改变.故sin(180°-a)=sina
再比如cos(630°+a）
450°=360°+270°=270°,在直角坐标中标出270°,也就是y轴负半轴,然后加上一个锐角a,就是第四象限,第四象限中余弦为正值,270°是90°的奇数倍,所以名称改变.故cos（630°+a)=sina
简单吧,总结成十字口诀,就是“奇变偶不变,符号看象限”,如果能理解这短短十字,能将以上方法熟练应用,名称转化问题将永远不再困扰你!

Ⅶ 三角恒等变换中常用到哪些技巧和方法不是间单的公式哦！

三角恒等变换中常把异角化为同角、异名化为同名、异次化为同次。明确了方向，就可以少走弯路。
运用三角公式，不仅要从左到右，从右到左，而且要灵活地运用它的变形。
课改后数学的学时有所减少，不必追求技巧。

Ⅷ 三角变换公式

sin(-α)= -sinα；

cos(-α) = cosα；

sin(π/2-α)= cosα；

cos(π/2-α) =sinα；

sin(π/2+α) = cosα；

cos(π/2+α)= -sinα；

sin(π-α) =sinα；

cos(π-α) = -cosα；

sin(π+α)= -sinα；

cos(π+α) =-cosα；

tanA= sinA/cosA；

tan（π/2＋α）＝－cotα；

tan（π/2－α）＝cotα；

tan（π－α）＝－tanα；

tan（π＋α）＝tanα

(8)三角变换的方法和技巧扩展阅读：

诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：

k×π/2±a(k∈z)的三角函数值。

(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；

(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。

记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角。

以诱导公式二为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π+α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二。

以诱导公式四为例：

若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．

诱导公式的应用：

运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：

特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。

Ⅸ 求三角函数图像变换的规律， 谢谢

y=f(x)，其中加左或下移，比方函数过（1，3）点，函数变为y=f(x+2),那么必过（-1，3），同理乘几就缩几倍。

这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

比如 60°弧（1/6圆周长）所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的1/60为一个单位）；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值。

(9)三角变换的方法和技巧扩展阅读：

六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1、对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2、六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。

图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。

对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：对于任何角度θ和任何整数k。

Ⅹ 三角恒等变换公式

二倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

三倍角公式：

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

半角公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能公式：

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

(10)三角变换的方法和技巧扩展阅读

解题技巧：

(1)准确记忆相关公式：如两角和的正弦公式，等号右边是正余余正，中间+号连接；两角和的余弦公式，等号左边是余余正正，特别要注意的是中间—连接，千万不能搞混淆了；

(2)如果遇到题目给出的角度较大时，先用诱导公式将角度变换在0～90度的范围内再进行计算；

(3)注意寻找角之间的关系。