断裂力学的研究方法和判据

⑴ 裂纹尖端的应力强度因子及裂纹扩展判据

一、应力强度因子K_Ⅰ与K_Ⅱ的计算

断裂力学认为当裂纹尖端的应力强度因子达到材料的断裂韧性时，裂纹就扩展，否则裂纹就不扩展或停止扩展。因此，在利用断裂力学来研究裂纹的扩展问题时，应力强度因子的精确计算是至关重要的。

考虑Ⅰ、Ⅱ型混合裂纹的扩展问题，裂纹尖端的应力场和位移场分别为（范天佑，2003）

岩石断裂与损伤

式中：G为剪切模量；对于平面应力问题k=（3-ν）/（1+ν），对于平面应变问题k=1-4ν，ν为泊松比；K_Ⅰ和K_Ⅱ分别为Ⅰ型和Ⅱ型裂纹尖端的应力强度因子。

下面综合利用数值流形方法与奇异边界元法模拟裂纹扩展（Zhang G X et al.，1999），其中应力场和位移场通过二阶流形元方法计算，裂纹尖端的应力强度因子通过奇异边界元计算。具体计算步骤为：

（1）利用二阶流形元方法求出如图12-4（a）所示的含有不连续面的结构的应力和位移。

（2）限定一个至少包含一条裂纹的一个子区域作为问题分析的对象，利用奇异边界元法来求解。把利用二阶流形元法求出的沿子区域边界上的位移作为约束条件，并考虑裂纹面上的无拉力条件，如图12-4（b）所示。

（3）计算出裂纹尖端的应力强度因子，判断裂纹是否扩展，如果裂纹扩展则应更新物理网格和数学网格重新计算。

（4）对下一个这样的子区域进行以上计算。

应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。

图12-4 裂纹尖端的应力强度因子求解示意图

1.无限域内的静力学基本解

假设一点载荷作用于复合平面内的一点z=s，如图12-5所示。在与X方向成α角的x₁ y₁坐标系内一点z处的应力和位移可由Kelvin基本解求得

岩石断裂与损伤

其中：G为剪切模量，对于平面应变问题κ=3-4ν，平面应力问题κ=（3-ν）/1+ν。

图12-5 点载荷作用的无限域平面

图12-6 点载荷作用的带裂纹无限域平面

2.点载荷作用于裂纹表面时的基本解

为了确定裂纹尖端的奇异性，应该采用具有奇异性的基本解。对于一个含有长度为2a的裂纹的无限域问题，当在裂纹表面z=s处受到一对力P=F_y-iF_x作用时，如图12-6所示，在x₁-y₁坐标系内一点z处的应力和位移可通过求解Cauchy问题求得

岩石断裂与损伤

其中：

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3.边界积分方程

对于如图12-4（b）所示的子区域，假定有一个分布的虚拟力Q（s）作用于边界Γ，和一个虚拟力P（s）作用于裂纹表面。那么在该子区域中z点的应力和位移可以通过积分方程式（12-5）和式（12-6）来确定：

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假设由数值流形方法计算出来的作用于边界Γ上的位移为：，其中，（η）和分别为边界Γ上η点的法向和切向位移。假设式（12-7）中的点z趋向于边界Γ上的η点，即：，这样就可以得到一个在边界Γ上满足已知位移的积分方程：

岩石断裂与损伤

岩石断裂与损伤

另外一个积分方程可以通过使用裂纹边界条件来获得。根据不同形式的裂纹扩展模式，该方程的形式也相应不同。

对于Ⅰ型和张-剪型裂纹问题，在裂纹表面的法向和切向方向都应该满足无拉力条件。采用类似于式（12-10a）中的方法，通过假定式（12-9）中的点z趋向于裂纹表面上的点ξ，并假定裂纹表面上的法向应力和切应力均为零，又可以得到如下的积分方程：

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对于闭-剪型裂纹问题，裂纹上下表面上的法向位移应该是相同的，而且在切向方向上还应该满足无拉力的自由边界条件：

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其中：。

利用边界元法求解方程式（12-10）即可得到Q（s）和P（s）。裂纹尖端的应力强度因子K_Ⅰ和K_Ⅱ即可通过式（12-11）求得

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在利用通常的数值分析方法如有限元方法来计算裂纹尖端的应力强度因子时，为了捕捉裂纹尖端的奇异性，通常需要加密裂纹尖端的网格划分。而对于本节中所采用的方法，由于奇异面积已经被限制在裂纹尖端附近的一个很小的区域内，并且它对远区域内的应力和位移的影响都是很小的。同时该方法中的应力和位移首先是利用二阶数值流形方法求得，并且在远离裂纹尖端处其精度也可以得到保证。利用已经求出的应力和位移，根据奇异边界元方法就可以求出裂纹尖端的应力强度因子，即使在裂纹尖端处采用较粗的计算网格，利用这种方法也能求得精确很高的应力强度因子。

二、裂纹扩展判据

平面问题中的裂纹体受到外载作用之后裂纹面有张开和闭合两种情况出现。无论裂纹面张开或闭合，只要裂纹面上的点有相对位移，裂纹尖端就有应力集中现象出现，这时裂纹体的破坏就不能用传统的强度理论准则来判断，而必须采用相应的断裂力学准则来考虑。

实际物体中的裂纹类型往往不是单一性的，通常在裂纹尖端附近可能同时存在着Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型的裂纹应力。这种复合型裂纹的扩展与单纯张开型裂纹的不同之处在于裂纹的扩展往往不是沿着原裂纹面的方向，而是沿着与原裂纹面成某一角度的方向进行。为了解决这一问题，提出了许多种复合型裂纹的脆性断裂理论。

当裂纹尖端的应力强度因子为已知时，可以采用最大环向应力理论来建立复合裂纹的断裂准则。环向应力理论假设：裂纹沿环向应力取最大值的方向开始扩展，裂纹的扩展是由于最大环向应力σ达到临界值而产生的。

由式（12-3）可以得到Ⅰ-Ⅱ型裂纹尖端的环向极坐标应力分量表达式：

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扩展方向角θ₀满足，即

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由式（12-13）求出裂纹的开裂角θ₀后，代入式（12-12）式可求出r=r₀圆周上的最大环向应力为

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于是可以建立相应的断裂准则：

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式中，σ_θc为最大环向应力的临界值，它可以通过Ⅰ型裂纹的断裂韧度K_ⅠC来确定：

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综合考虑式（1214）～式（1216），可以得到按最大环向应力理论建立起来的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的断裂准则：

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式中：K_eq和K_ⅠC分别为裂纹尖端的等效应力强度因子和断裂韧度。

⑵ 断裂力学的分类

它在弹性力学线性理论的基础上研究脆性材料中的裂纹扩展规律，并以应力强度因子和能晕释放率等作为控制裂纹扩展的参量。脆性材料是指在裂纹扩展直至最后破坏的过程中，其内部出现较小塑性变形的材料。（见线弹性断裂力学）
应用线弹性理论研究物体裂纹扩展规律和断裂准则。1921年格里菲斯通过分析材料的低应力脆断，提出裂纹失稳扩展准则格里菲斯准则。1957年G.R.欧文通过分析裂纹尖端附近的应力场，提出应力强度因子的概念，建立了以应力强度因子为参量的裂纹扩展准则。线弹性断裂力学可用来解决脆性材料的平面应变断裂问题，适用于大型构件（如发电机转子、较大的接头、车轴等）和脆性材料的断裂分析。实际上，裂纹尖端附近总是存在塑性区，若塑性区很小（如远小于裂纹长度），则可采用线弹性断裂力学方法进行分析。 它在弹性力学线性理论的基础上研究脆性材料中的裂纹扩展规律，并以应力强度因子和能晕释放率等作为控制裂纹扩展的参量。脆性材料是指在裂纹扩展直至最后破坏的过程中，其内部出现较小塑性变形的材料。（见线弹性断裂力学）
应用弹性力学、塑性力学研究物体裂纹扩展规律和断裂准则，适用于裂纹体内裂纹尖端附近有较大范围塑性区的情况。由于直接求裂纹尖端附近塑性区断裂问题的解析解十分困难，因此多采用J积分法、COD（裂纹张开位移）法、R（阻力）曲线法等近似或实验方法进行分析。通常对薄板平面应力断裂问题的研究，也要采用弹塑性断裂力学。弹塑性断裂力学在焊接结构的缺陷评定、核电工程的安全性评定、压力容器和飞行器的断裂控制以及结构物的低周疲劳和蠕变断裂的研究等方面起重要作用。弹塑性断裂力学的理论迄今仍不成熟，弹塑性裂纹的扩展规律还有待进一步研究。 它研究高速加载或裂纹高速扩展条件下的裂纹扩展规律，在研究中须考虑物体的惯性。（见断裂动力学）
采用连续介质力学方法，考虑物体惯性，研究固体在高速加载或裂纹高速扩展下的断裂规律。断裂动力学的主要研究内容为：①断裂准则，包括裂纹在高速加载下的响应及起始和失稳扩展准则、高速扩展裂纹的分叉判据。②高速扩展裂纹尖端附近的应力应变场。③裂纹高速扩展的极限速度。④裂纹高速扩展的停止（止裂）原理。⑤高应变率条件下的材料特性及其对高速扩展裂纹阻力的影响。⑥裂纹高速扩展中的能量转换。⑦高速碰撞下的侵彻和穿孔问题。断裂动力学研究方法分理论分析和动态实验两方面。断裂动力学已在冶金学、地震学、合成化学以及水坝工程、飞机和船舶设计、核动力装置和武器装备等方面得到一些实际应用，但理论尚不够成熟。 作为一门崭新的学科，断裂力学在第一次世界大战期间为英国航空工程师格里菲斯所创立，用于解释脆性材料的断裂。他面临的问题是，从理论上说，小裂纹尖部的裂纹接近无穷大。也就是说，无论裂纹有多小，负载有多轻，材料都会失效。为了逃出困境，他发展出一套热力学方法。他假定裂纹的延展需要创造表面能量，这一能量是形变能提供的。如果形变能的损失足以提供新的表面能，裂纹就开始沿展。