数值计算方法中如何避免误差

① 如何避免计算机软件中计算时的数值误差

数值误差无法避免

② 数值计算中控制误差的若干原则

1.要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法

用绝对值小的数作除数进行除法运算时，舍入误差会增大。如计算x/y时，若0<｜y｜ㄍ｜x｜，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免。

［例］线性方程组

地球物理数据处理基础

其准确解为

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在四位浮点十进制数（仿机器实际计算）下，用消去法求解，上述方程可写成

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若用 除第一方程减第二方程，则出现用小的数除大的数，得到

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由此解出

x₁＝0，x₂＝10¹×0.1000＝1，显然结果严重失真。

若反过来用第二个方程消去第一个方程中含x₁的项，则避免了小除数、大乘数，得到

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由此求得相当好的近似解

x₁＝0.5000，x₂＝10¹×0.1000＝1

2.要避免两相近数相减

在数值计算中两个相近的数相减有效数字会严重损失，例如X＝532.65，Y＝532.52都是有五位有效数字，但X－Y＝0.13只有两位有效数字。这说明必须尽量避免出现这类运算。最好是改变计算方法，防止这种现象产生。现举例说明。

［例］计算A＝10⁷［1－cos2°］（四位数学表）

由于cos2°＝0.9994，直接计算则有

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其结果只有一位有效数字；若用 sin1°＝0.0175，则

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其结果则具有三位有效数字。此例说明，可通过改变计算公式避免或减少有效数字的损失。

类似的，如果x₁和x₂很接近时，则 用右边算式，有效数字就不会损失。

当x很大时：

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都用右端算式代替左端。如果无法改变算式，则采用双字长运算，但这会增加计算时间和内存占有量。

3.要防止大数“吃掉”小数

在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意就会出现大数“吃掉”小数。

［例］求解x²－（10¹²＋1）x＋10¹²＝0

解：由因式分解易知准确解为x₁＝10¹²，x₂＝1。若用10位有效数字的计算机，按下式计算，即

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计算即得x₁＝10¹²，x₂＝0。错误原因反映在公式中 其中 表示计算机中的相等。这是因为在计算机内计算时要对阶，即

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把小数吃了。

同理，因为 ，故

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4.注意简化计算步骤，减少运算次数

简化计算步骤，减少运算次数不但可节省计算时间，而且还能减少舍入误差。这是数值计算必须遵从的原则。

［例］计算x²⁵⁵的值，若逐个相乘，需用254次乘法，若按各次平方计算，即

x²⁵⁵＝x·x²·x⁴·x⁸·x¹⁶·x³²·x⁶⁴·x¹²⁸

只要做14次乘法运算即可。

③ 如何避免mathcad计算结果的误差

你现在存在的误差表现在什么地方？
MatchCAD计算时，要避免误差首先是要方法正确，如解方程就有多种方法。其次你可选择合适的小数位数，最高可达17位，应该可以满足绝大多数的精度要求了。

④ 在数值结算中,应该怎样减少舍入误差

1、要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法，用绝对值小的数作除数进行除法运算时，舍入误差会增大。如计算x/y时，若0<｜y｜ㄍ｜x｜，则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免。
2、要避免两相近数相减，在数值计算中两个相近的数相减有效数字会严重损失，例如X＝532.65，Y＝532.52都是有五位有效数字，但X－Y＝0.13只有两位有效数字。这说明必须尽量避免出现这类运算。最好是改变计算方法，防止这种现象产生。现举例说明。
3、要防止大数“吃掉”小数，在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意就会出现大数“吃掉”小数。
4、注意简化计算步骤，减少运算次数，简化计算步骤，减少运算次数不但可节省计算时间，而且还能减少舍入误差。这是数值计算必须遵从的原则。

⑤ 统计学常见三大误差如何避免

随机误差，选择合适的抽样方法即可避免。偶然误差，是人为造成。可提高业务素质避免。系统误差是仪器造成，了修正仪器避免。

⑥ 数值分析 避免误差危害的若干原则有哪些

最大的、最小的先拿出来，出现频率高和低的也拿出来，再找找他们出现的规律，求方差、均值等等，那么一组数据的基本情况应该出来了。

⑦ 定量分析中的误差就其来源和性质不同可分为哪两种误差说明如何避免

系统误差和偶然误差，其中系统误差主要包括：仪器误差、方法误差、试剂误差、操作误差，系统误差是可以避免的；偶然误差又称随机误差，一般无法避免，呈正态分布。
提高分析结果准确度的方法：1、选择合适的分析方法；2、增加平行测定的次数；3、减小测量误差；4、消除测定中的系统误差。

⑧ 在数值计算方法中,误差是如何分类的

1.1 概述

1. 定义数值计算目标: 寻找一个能迅速完成的（迭代算法）算法，同时估计计算结果的准确度。

1.2 误差分析基础

1. 误差来源：截断误差、舍入误差、数学建模时的近似、测量误差（数据误差）

2. 误差的分类：

绝对误差e(\hat{x}) = \hat{x} - x ；误差限

相对误差 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{x} 或者 e_r(\hat{x}) = \frac{\hat{x} - x}{\hat{x}} ；相对误差限

3. 定义有效数字：从左到右第一位非零数字开始的所有数字

定理：设x与其近似值\hat{x} 的第一位有效数字相同，均为d_0 ，若\hat{x} 有p位正确的有效数字，则其相对误差满足：

|e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{d_0} \times 10^{-p + 1}

定理：设对x保留p位有效数字后得到近似值 \hat{x} ，则相对误差满足：

|e_r(\hat{x})| = \frac{1}{2d_0} \times 10^{-p+1}

定理：设x的第一位有效数字为 d_0 ，若近似值\hat{x} 的相对误差满足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2(d_0 + 1)} \times 10^{-p + 1} 则\hat{x} 具有p位正确的有效数字，或者在保留p位有效数字后 \hat{x} = x

定理：若x的近似值在 \hat{x} 相对误差满足 |e_r(\hat{x})| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-p} ，则 \hat{x} 至少有p位正确的有效数字，或者在保留p位有效数字后 \hat{x} = x

应用：可以不严谨的说如果相对误差不超过 10^{-p} 怎有p位正确的有效数字

4. 区分：精度（precision）：有效数字的位数有关

准确度（accuracy）：与准确的有效数字的位数有关

5. 数据传递误差与计算误差：考虑 f(x), f(\hat{x}), \hat{f}(\hat{x})

计算误差：计算过程中的近似引起的误差，例 \hat{f}(\hat{x}) - f(\hat{x})

数据传递误差：单纯由输入数据误差引起的计算结果的误差，例 f

⑨ 数值分析，怎么避免误差危害

1. 避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；

2. 避免两个相近的数相减；

3. 防止大数吃小数；

4. 简化计算步骤，减少运算次数。