有限差分方法運用在哪裡

❶ 有限差分法的差分方法的發展和應用

前面闡述了兩個自變數，線性方程的差分法。實際問題常會遇到多個自變數，非線性的方程或方程組；它們還可能是混合型的偏微分方程（如機翼的跨聲速繞流），其解包含著各種問斷（如激波間斷、接觸間斷等）。非線性問題的差分法求解是十分困難的。隨著電子計算機的發展，在解決各種非線性問題中，差分法得到了很快的發展，並且出現了許多新的思想和方法，如守恆差分格式，時間相關法，分步法等。 把定常的微分問題用一個相應的非定常問題來代替，然後用差分法解後者的初值問題，要求當時，它的穩定解為原來問題的解，這類方法叫作時間相關法。實踐上，當計算時間足夠大時，就能得到滿足給定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一邊值問題：

可以用熱傳導方程的初邊值問題：來代替。若用顯式格式計算（27），可避免解大型代數方程組。特別是當微分方程的類型在定解區域內發生變化時，可只用一種類型來算，而使問題大大化簡。這種方法在定常問題中廣泛使用。缺點是達到定常解的計算時間較長，有待改進。 把復雜的問題的每一時間步分解成幾個中間步，例如把多維問題按坐標分解為幾個一維問題，然後用差分法解這些比較簡單的各中間步，最後得到原始問題的近似解，這類方法叫作分步法。交替方向法、預估-修正法，時間分裂法、因式分解法等都屬此類。以二維拋物型方程定解問題：為例，用顯式格式求解，時間步長受穩定性條件：

的限制，用隱式格式，則歸結為大型線性代數方程組，解起來比較麻煩。1955年皮斯曼-拉什福德提出交替方向隱式格式：

（i=1，2，…，N－1，j=1，2，…，M－1；n=0，1，2，…）
為中心差分算符，第一步x方向取隱式，y方向取顯式，第二步則相反。兩步合成無條件穩定的格式。由於每一步可用追趕法求解，大大簡化了解法。交替方向法出現後，進一步發展了各種形式的分步格式，並可推廣到任何維數的方程或方程組的情形，困難在於邊界條件的處理。
有限差分方法已成為解各類數學物理問題的主要數值方法，也是計算力學中的主要數值方法之一。有些解偏微分問題的方法（如特徵線法、直線法）實質上也是差分方法的一種形式。在固體力學中，有限元方法出現以前，主要採取差分方法；在流體力學中，差分方法仍然是主要的數值方法。當然，對於某些具有復雜的幾何形狀及復雜的流動現象的實際問題，差分方法還有待進一步發展。