數學思維測量方法

① 小學數學使用滾動法和繞圓法測定圓的周長是使用了什麼數學思維方

滾動法：1）.使用道具。2).轉化法。丈量變為滾動小圓。3）.化整為零法。適於周長是小圓整數倍，小圓不足整圈時，小圓周長易測量、或可忽略。問題：滾圓不能緊貼目標；滾圓有滑動誤差。繞圓法：1).線為道具。2）.以曲線代直尺，化直為曲。3).取樣後，線拉直測量，化曲為直。注意線徑要細，測時要拉緊，與綳緊的程度要相當。線的彈性須小。

② 如何訓練數學思維能力

數學思維課視頻課程（高清視頻）

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③ 小學數學思維訓練方法

1、從實際需求出發：比如說家人去買菜用哪種方式比較快捷到達目的地，又運用哪些方法可以省錢。這些實際的生活非常能夠讓孩子思考，孩子也容易理解，往往數學思維在不知不覺中形成了 。

2、從問題的突破口出發：比如說方程類的解答，孩子遇到某個題目覺得很繁瑣，利用方程就會很簡單，當孩子遇到某些難題難以解決的時候，總會需要找到突破口，比如逆向思維、對比思維等，這些突破口的過程，本身就是一場數學思維。

3、從實際的案例出發：有很多實際的典型案例，這些案例在課本上都有，利用這些案例，看看書本上是怎麼分析的，哪怕孩子不能獨立去完成，背會本身也有好處，可惜很多人只會說束手無策，導致越來越惡化。

4、結合邏輯思維來做訓練。事實上數學思維本身就是一種邏輯思維，並且兩者相輔相成。家長可以幫助孩子選擇一些書籍，亦或是相關的邏輯訓練工具，並且總結邏輯給孩子帶來的好處等等， 用這些來指導數學思考方式。

5、鼓勵孩子多提問：不要抑制孩子在學習過程的提問，這種提問和好奇是孩子學習的動力，將知識點與孩子年齡段能接受的方法告訴孩子才是最重要的，需要多加以引導。

④ 數學思維怎麼培養

數學思維培養如下：

一、培養數量思維。

數量思維包括唱數、計數還有測量。

唱數指的是1、2、3、4、5等數字的讀法和寫法；計數是孩子能明確知道到底是幾個，比如「1雙手有10個手指頭」。關於這兩種這兩種家長往往都比較重視。但是常常會忽視另一種思維訓練——測量，包括對刻度、重量等單位的感知。

「有的人提一下某個東西就知道這個物品的重量」指的就是測量能力。家長在孩子小的時候就可以讓孩子用尺子量桌子的長度、寬度、高度等。

二、培養計算思維。

小學數學思維怎麼培養？掰著手指頭教孩子學習加減法確實是培養計算思維的方法，但是這還不夠，在算的時候一定要讓孩子去理解，而不是死記硬背。

比如，你有5個蘋果，爸爸有2個蘋果，你比爸爸多了幾個蘋果？如果你把你的2個蘋果分給爸爸，那你還剩幾個？雖然都要用到減法，但是前者是比較型，後者是剩餘型。家長要幫孩子去理解兩者間有什麼不同，而算出最後的結果並不是最重要的。

三、培養分類思維。

想讓培養孩子的數學思維，分類的認知需要重視。

比如蘋果和梨子都是水果，分為一類；紅色的桌子和黃色的椅子都是傢具分為一類；但是把這個分類方式變一下；蘋果和紅色的桌子都是紅色的；梨子和黃色的椅子都是黃色的。這就是多元化分類，它能更好地鍛煉孩子思維的清晰程度。

四、培養集合思維小學數學思維怎麼培養？集合是數學學習中非常重要的概念，也是常用的性質。要注重培養孩子的集合思維。

比如：爸爸有10個蘋果，你有8個蘋果，爸爸和你的糖各是一集合，兩集合比較相減，就得出了爸爸比你多幾顆糖。當孩子感知集合以後，就能分析出兩種集合之間有何相關或完全不同之處，也有助分類。

五、培養時間思維

除了會讀時鍾上的時間，更重要的是讓孩子感知時間。如果知道做某件事需要用時30分鍾，那麼就讓他親身感受一下多長時間是30分鍾。

⑤ 數學思維培養方法

在學習中進行發散性思維的訓練，不僅要盡可能多掌握解題方法，更重要的是要培養自己靈活多變的解題思維，思維的積極性、求異性、廣闊性、聯想性等是發散思維的特性。

一、訓練自己思維的積極性。

思維的惰性是影響發散思維的障礙，而思維的積極性是思維惰性的剋星。所以，培養思維的積極性是培養發散思維極其重要的基礎。例如：在一年級《乘法初步認識》一課中，可先出示幾道連加算式改寫為乘法算式。而後，出示3+3+3+3+2，思考、討論能否改寫成一道含有乘法的算式呢?如3+3+3+3+2=3×5-1=3×4+2=2×7……費時多，但這樣的訓練卻有效地激發了尋求新方法的積極情緒。在學習中還可經常利用「障礙性引入」、「沖突性引入」、「問題性引入」、「趣味性引入」等教學方法，以激發學生對新知識、新方法的探知思維活動，這有利於激發自己的學習動機和求知慾。

二、轉換角度思考，訓練思維的求異性。

從認知心理學的角度來看，在進行抽象的思維活動過程中由於年齡的特徵，往往表現出難以擺脫已有的思維方向，也就是說個體(乃至於群體)的思維定勢往往影響了對新問題的解決，以至於產生錯覺。所以要培養與發展自己的抽象思維能力，必須十分注意培養思維求異性。例如，四則運算之間是有其內在聯系的：減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，加與乘之間則是轉換的關系。當加數相同時，加法轉換成乘法，所有的乘法都可以轉換成加法。加減、乘除、加乘之間都有內在的聯系。如189-7可以連續減多少個7?應變換角度思考，從減與除的關系去考慮。這道題可以看作189里包含幾個7，問題就迎刃而解了。這樣的訓練，既防止了片面、孤立、靜止地看問題，使所學知識有所升華，又進行了求異性思維訓練。我們習慣於順向思維，而不習慣於逆向思維。在應用題教學中，分析題意時，一方面可以從問題入手，推導出解題的思路;另一方面也可以從條件入手，一步一步歸納出解題的方法。

⑥ 如何培養學生的數學思維方法

一是追求滲透，啟發領悟。當前小學數學教學中，存在兩種現象：一是單純地進行知識點講解，二是輕例題教學、重課堂練習。二者的本質是一樣的，即只追求學生掌握數學知識，掌握常見題型的解答，而不注重分析知識和習題背後的數學邏輯。長期採用這樣的教學方式，會磨去數學本身的學科魅力，不利於學生數學思維的養成。
教師應當把知識教育與思維訓練巧妙融合，把思維訓練滲透到每一節課，植根於每一個知識點。要根據小學生的思維特點，指導學生運用觀察、實驗、比較、猜想等方式，充分揭示思維過程，把概念的形成、結論的推導、規律的概括等過程滲透在教學過程中，使學生親歷知識發生、發展的曲折而生動的思維過程，讓學生近距離感受數學思維的美。
二是積極動手，引導思維。蘇霍姆林斯基說過：「兒童的智慧在他們的手指尖上。」小學生有足夠的動手慾望，對數學這樣一門思維體操來說，將抽象思維和「動手動腳」結合，往往有意想不到的積極效果。我在講授長方體的體積公式時，找了12個小正方體積木，讓學生試試可以拼成哪些不同的長方體，又讓學生測量它們的長寬高，引導學生思考長寬高與體積的關系，最後推出長方體的體積公式。看似簡單的一項操作，卻讓學生的學習積極性大為提高。有學生課下找到我，問其他多邊體的組合是否也適用這個公式。這充分說明動手實踐對學生數學思維的激發。
三是任務驅動，激發活力。小學生處於對周圍事物充滿好奇心和求知慾的認知階段，教師在教學中可以適當給學生布置一些信息任務，提出一些數學問題，讓學生帶著問題和任務進行課堂學習。設立任務時，應注意任務的可行性和有效性，要能為學生提供廣闊的思維空間。比如，講授立方體的表面積時，我特意了解到某學生即將過生日，然後准備了一份需要包裝的小禮物和彩紙，要求全班學生幫我用最少的彩紙完成任務。學生的積極性一下子被調動起來，為了完成任務，他們提出了很多充滿童趣的方案。這時，我再提出讓他們測量小禮物的長寬高，並介紹面積的計算公式，引導學生用數學思維解決實際問題，進而思考：如果立方體的表面是不規則圖形，該怎麼計算？一個普通的表面積計算就拓展為對整個幾何圖形知識系統的探究。學生對這些問題進行思考猜想的過程，就是數學思維的培養過程。由此可見，任務驅動的過程也是數學思維開拓能力、實踐探究能力提升的過程。

⑦ 數學學習竅門和方法

數學的重要性不言而喻，有哪些能培養數學思維的學習小竅門？

八、排序思維

關於排序思維，家長一般重視循環排序的教育，比如一說三角形、圓形、三角形、圓形，孩子能知道接下來就是三角形、圓形。這里同樣再給大家查漏補缺，不能忽視「第幾」的排序方式，比如小朋友們排排隊，從左到右第幾，從右到左第幾，以及讓孩子把一些東西從大到小排序或從高到低排序，這些能增強孩子對序數的感知力，和以後數學學習密切相關，而且相信大家在工作中也沒少遇到需要排序處理的問題。

九、抽象思維

孩子一般在5歲開始出現抽象思維，多數家長並不知道怎麼培養孩子的抽象思維，其實很簡單，比如「你看媽媽今天和平常穿的衣服有什麼不同？」孩子就要通過思考，在提取一個個信息比較後，分析出不同在哪裡。

類似的例子很多，家長在生活中多注意即可。

十、解決問題的思維

學習數學的最終目的是解決問題，多數家長卻只追求孩子的成績，家長應該讓孩子利用數學知識去解決問題，並給孩子留下空間，讓孩子思考，結果正確與否，並不重要。比如有6顆草莓，讓孩子平均分給大人。

⑧ 求數學學習思維方法

數學我覺得主要依靠的是邏輯思維，邏輯思維有著天生和後期的養成，逐漸形成一個人的行為習慣和思考問題的開端。
訓練邏輯思維也就是想做數學題那樣，如果不是先天具有較好的邏輯能力，那麼要靠後期的努力培養起來。
這里有幾道練邏輯思維的題目。你先試試看吧，最後有答案。
覺得好的，你再去網上多找一些來做，希望可以幫助到你。
1．世界級的馬拉松選手每天跑步不超過6公里。因此，如果一名選手每天跑步超過6公里，它就不是一名世界級馬拉松選手。
以下哪項與上文推理方法相同？
（A）跳遠運動員每天早晨跑步。如果早晨有人跑步，則他不是跳遠運動員。
（B）如果每日只睡4小時，對身體不利。研究表明，最有價值的睡眠都發生在入睡後第5小時。
（C）家長和小孩做游戲時，小孩更高興。因此，家長應該多做游戲。
（D）如果某汽車早晨能起動，則晚上也可能起動。我們的車早晨通常能啟動，同樣，它晚上通常也能啟動。
（E）油漆三小時之內都不幹。如果某塗料在三小時內幹了，則不是油漆。
2．19世紀有一位英國改革家說，每一個勤勞的農夫，都至少擁有兩頭牛。那些沒有牛的，通常是好吃懶做的人。因此它的改革方式便是國家給每一個沒有牛的農夫兩頭牛，這樣整個國家就沒有好吃懶做的人了。
這位改革家明顯犯了一個邏輯錯誤。下列選項哪個與該錯誤相類似？
（A）天下雨，地上濕。現在天不下雨，所以地也不濕。
（B）這是一本好書，因為它的作者曾獲諾貝爾獎。
（C）你是一個犯過罪的人，有什麼資格說我不懂哲學？
（D）因為他躺在床上，所以他病了。
（E）你說謊，所以我不相信你的話；因為我不相信你的話，所以你說謊。

3．有一天，某一珠寶店被盜走了一塊貴重的鑽石。經偵破，查明作案人肯定在甲、乙、丙、丁之中。於是，對這四個重大嫌疑犯進行審訊。審訊所得到的口供如下：
甲：我不是作案的。
乙：丁是罪犯。
丙：乙是盜竊這塊鑽石的罪犯。
丁：作案的不是我。
經查實：這四個人的口供中只有一個是假的。那麼，以下哪項才是正確的破案結果？
（A）甲作案。
（B）乙作案。
（C）丙作案。
（D）丁作案。
（E）甲、乙、丙、丁共同作案。

4．古代一位國王和他的張、王、李、趙、錢五位將軍一同出外打獵，各人的箭上都刻有自己的姓氏。打獵中，一隻鹿中箭倒下，但不知是何人所射。
張說："或者是我射中的，或者是李將軍射中的。"
王說："不是錢將軍射中的。"
李說："如果不是趙將軍射中的，那麼一定是王將軍射中的。"
趙說："既不是我射中的，也不是王將軍射中的。"
錢說："既不是李將軍射中的，也不是張將軍射中的。"
國王讓人把射中鹿的箭拿來，看了看，說："你們五位將軍的猜測，只有兩個人的話是真的。"請根據國王的話，判定以下哪項是真的？
（A）張將軍射中此鹿。
（B）王將軍射中此鹿。
（C）李將軍射中此鹿。
（D）趙將軍射中此鹿。
（E）錢將軍射中此鹿。

5．"趙科長又戒煙了。"
由這句話我們不可能得出的結論是
（A）趙科長過去戒過煙，次數可能不止一次。
（B）趙科長過去戒煙未成功，這次仍可能如此。
（C）趙科長煙癮很大，講這話的人深信趙科長的煙癮永遠戒不掉。
（D）講這話的人是在諷刺嘲笑趙科長的戒煙行為。
（E）講這話的人確信趙科長這次戒煙一定會成功。

6．古希臘柏拉圖學園的門口豎著一塊牌子"不懂幾何者禁入"。這天，來了一群人，他們都是懂幾何的人。
那麼，他們
（A）可能會被允許進入。
（B）一定不會被允許進入。
（C）一定會被允許進入。
（D）不可能被允許進入。
（E）不可能不被允許進入。

7．所有通過英語六級考試的學生都參加了學校的英語俱樂部，王進參加了英語俱樂部，所以他一定通過了英語六級考試。
以下哪項最好地指出了上述論證的邏輯錯誤？
（A）部分通過英語六級考試的學生沒有參加英語俱樂部。
（B）王進能夠參加英語俱樂部是因為它符合加入俱樂部的基本條件。
（C）王進曾經獲得過年級英語演講比賽第一名。
（D）凡願意每學期繳納50元會費，並且願意積極參加俱樂部活動的學生都可以成為俱樂部的成員。
（E）有些參加俱樂部的學生還沒有通過英語六級考試。

8．認真學習邏輯知識，加強邏輯訓練，可以有效的提高人們的邏輯思維水平和增強邏輯思維能力。小林平時注重邏輯知識的學習和邏輯思維的訓練，可想而知，他的思維是有條理和邏輯性的。上面的論述犯了以下哪項錯誤？
（A）轉移論題。
（B）自相矛盾。
（C）以偏概全。
（D）論據和論題不相干。
（E）推不出。

9．如果電動剃刀中的電池用完了，剃刀就不能工作。我的剃刀不能工作，因此，電池一定是用完了。
以下哪句與以上論證相似？
（A）如果馬拉多納上場，阿根廷隊就一定會贏。阿根廷隊輸了，所以馬拉多納一定沒上場。
（B）一個證據沒有被破壞除非它不能被接受。這個證據不能被接受，因此，它被破壞了。
（C）如果某甲犯罪了，他的指印可以在現場找到。某甲沒有犯罪，所以，某甲的指印沒有在現場找到。
（D）老葛是我的叔叔，小菲是老葛的侄女。因此，小菲是我的姐姐。
（E）阿森將戴太陽鏡，如果海岸可被清楚地看見。海岸可被清楚地看見，因此，阿森將戴太陽鏡。

10．一家鍾錶店被盜，經查可以肯定是甲、乙、丙、丁中的某一個人所為。審訊中，甲說："我不是罪犯。"乙說："丁是罪犯。"
丙說："乙是罪犯。"丁說："我不是罪犯。"經調查證實四人中只有一個說的是真話。
根據已知條件，下列哪個判斷為真。
（A）甲說的是假話，因此，甲是罪犯。
（B）乙說的是真話，丁是罪犯。
（C）丙說的是真話，乙是罪犯。
（D）丁說的是假話，丁的確是罪犯。
（E）四人中說的全是假話，丙才是罪犯。

11．先天的遺傳因素和後天的環境影響對人的發展所起的作用到底哪個重要？雙胞胎的研究對於回答這一問題有重要的作用。惟環境影響決定論者預言，如果把一對雙胞胎兒完全分開撫養，同時把一對不相關的嬰兒放在一起撫養，那麼，待他們長大成人後，在性格等內在特徵上，前兩者之間決不會比後兩者之間有更多的類似。實際的統計數據並不支持這種極端的觀點，但也不支持另一種極端觀點，即惟遺傳因素決定論。
從以上論述最能推出以下哪個結論？
（A）為了確定上述兩種極端觀點哪一個正確，還需要進一步的研究工作。
（B）雖然不能說環境影響對於人的發展起唯一決定作用，但實際上起重要作用。
（C）環境影響和遺傳因素對人的發展都起著重要的作用。
（D）試圖通過改變一個人的環境來改變一個人是徒勞無益的。
（E）雙胞胎研究是不能令人滿意的，因為它得出了自相矛盾的結論。

12．一種對許多傳染病非常有效的葯物，目前只能從一種叫ibora的樹的皮中提取，而這種樹在自然界很稀少，5
000棵樹的皮才能提取1公斤葯物。因此，不斷生產這種葯物將不可避免地導致該種植物的滅絕。
以下哪項如果為真，則最能削弱上述論斷？
（A）把從ibora樹皮上提取的葯物通過一個權威機構發放給醫生。
（B）從ibora樹皮提取葯物生產成本很高。
（C）ibora的葉子在多種醫學之品種都使用。
（D）ibora可以通過插枝繁衍和在人工培育下生長。
（E）ibora主要生長在人跡罕至的地區。
13．"作為本公司的法人代表，我鄭重聲明：王也飛簽署的任何合同都無效。王也飛不是法人代表。如他是法人代表，那我就不是，因為一個公司只能有一個法人代表。"
以下哪句話最能代表講話人所表明的立場觀點？
（A）公司只有一個法人代表。
（B）王也飛不是法人代表。
（C）王也飛沒有資格簽署合同。
（D）王也飛不代表本公司。
（E）我不承認王也飛簽署的合同。

14．有甲、乙、丙三個學生，一個出生在北京，一個出生在上海，一個出生在武漢。他們中一個是學國際金融專業的，一個是學工商管理專業的，一個是學外語專業的。其中：
①甲不是學國際金融的，乙不是學外語的。
②學國際金融的不出生在上海。
③學外語的出生在北京。
④乙不出生在武漢。
請根據已知的條件，判斷甲的專業：
（A）國際金融。
（B）工商管理。
（C）外語。
（D）三種專業都可能。
（E）三種專業都不可能。

15．如果傭人出現，他將被發現；如果他被發現，他就會受到詢問；他如果受到詢問，他將回答問題，他的聲音可以被聽到。如果未看到傭人也未聽到他的聲音，他一定在工作；如果他在工作，他一定會出現，但沒有人聽到傭人的聲音。
結合上文，以下哪一項能夠成立？
（A）傭人被問。
（B）傭人不被問。
（C）未看見傭人。
（D）看到傭人。
（E）以上全不是。

16．只有小陳參加，小王和小張才會一起吃飯；而小陳只到她家附近的酒店吃飯，那裡距市中心幾里路遠；只有小王去，小宋才會去酒店吃飯。
如果上面的資料是對的，下面哪一條也一定對？
（A）小宋不與小陳在酒店一起吃飯。
（B）小張不與小宋、小陳一起在酒店吃飯。
（C）小王、小宋和小張不在酒店一起吃飯。
（D）小宋不在市中心的酒店吃飯。
（E）小王與小張不會一起在市中心吃飯。

17．有人認為當前的大學教育在傳授基本技能上是失敗的。他們對若干大公司人事部門負責人進行了一次調查，發現很大一部分新上崗的工作人員中都沒有很好掌握基本的寫作、數量和邏輯技能。
如果上述論點為真，那麼以下哪項也為真？
（A）現在的大學里沒有基本技能方面的課程了。
（B）新上崗人員中極少有大學生。
（C）寫作、數量、邏輯方面的基本技能對勝任工作很重要。
（D）大公司的新上崗人員基本上代表了當前的大學畢業生的水平。
（E）過去的大學生比現在的大學生接受了更多的基本技能教育。

18．在世界范圍內禁止生產各種破壞臭氧層的化學物質可能僅僅是一種幻想。大量這樣的化學物質已經生產出來，並且以成千上萬台冰箱的冷卻劑的形式而存在。當這些化學物質到達大氣層中的臭氧層時，起作用不可能停止。因此，沒有任何方式可以阻止這類化學物質進一步破壞臭氧層。
下列哪項如果為真，則能最嚴重的削弱以上論證。
（A）不可能精確地測量冰箱里冷卻劑這種破壞臭氧層的化學物質的量是多少。
（B）在現代社會中，為了避免不衛生的和潛在的威脅生命的情況發生，食物的冷藏是必要的。
（C）不會破壞臭氧層的替代品還未開發出來，並且替代品可能會的冰箱目前使用的冷卻劑昂貴。
（D）即是人們放棄使用冷藏設備，已經存在的冰箱里的冷卻劑也是對大氣層的一個威脅。
（E）當冰箱的使用壽命結束時，冰箱里的冷卻劑可完全回收並且重新利用。

19．龍口開發區消防站向市政府申請購置一輛新的雲梯消防車，這種雲梯消防車是撲滅高層建築火災的重要設施。市政府否決了這項申請，理由是：龍口開發區現只有五幢高層建築，消防站現有的雲梯消防車足夠了。
以下哪項是市政府的決定所必須假設的？
（A）龍口開發區至少近期內不會有新的高層建築封頂投入使用。
（B）市政府的財政面臨困難無力購置雲梯消防車。
（C）消防站的雲梯消防車中，至少有一輛近期內不會退役。
（D）龍口開發區的高層建築內的防火設施都符合標准。
（E）這種雲梯消防車對於撲滅高層建築的火災並不是不可缺少的。

20．世界衛生組織1995年調查報告顯示，70%的肺癌患者都有吸煙史。這說明，吸煙將極大增加患肺癌的危險。
以下哪項，如果是真的，將嚴重削弱上述結論？
（A）有吸煙史的人在1995年超過世界總人口的65%。
（B）1995年世界吸煙的人數比1994年增加了70。
（C）被動吸煙被發現同樣有致癌的危險。
（D）沒有吸煙史的人數在1995年超過世界總人口的40%。
（E）1995年未成年吸煙者的人數有驚人的增長。
21．有一邏輯推理單選題的四個選擇答案分別是：
（1）作案者是甲。
（2）作案者是乙。
（3）作案者是丙。
（4）作案者是甲或乙。
設該題是成立的，則該題的正確答案應是：
（A）（1）
（B）（2）
（C）（3）
（D）（4）
（E）無法確定

22．賈女士：本報對減肥成功者所作的一項調查顯示，70%的受調查者稱服用東參減肥丸，30%的稱服用靈芝瘦身丹。沒有被調查者服用其他減肥葯。
陳先生：這說明在被調查者中，服用東參減肥丸的人數，比服用靈芝瘦身丹的兩倍還多。
賈女士：另外，25%的被調查者稱他們從不通過葯物減肥。
以下哪項如果為真，最有利於解釋賈女士的斷定中看來存在的矛盾？
（A）30%的服用靈芝瘦身丹的被調查者，包括在70%的服用東參減肥丸的被調查者中。
（B）一些被調查者服用上述兩種減肥葯。
（C）被調查者的人數超過100人。
（D）被調查者在整個減肥成功者中，只佔很少的比例。
（E）減肥成功者在整個減肥者中只佔很少的比例。

23．甲、乙、丙三人居一學生宿舍。甲報案遺失2
000元。保安人員經過周密調查，得出結論是丙作的案。班主任說："這是最不可能的。"保安人員說："當所有其他的可能性都被排除了，剩下的可能性不管看來是多麼不可能，都一定是事實。"
以下哪項如果是真的，將最為有力地動搖保安人員的結論？
（A）保安人員事實上不可能比班主任更了解學生。
（B）對非法行為懲處的根據，不能是邏輯推理，而只能是證據。
（C）保安人員無法窮盡地把握所有的可能性。
（D）丙是班上公認的品學兼優的學生。
（E）乙有作案的前科。

24．老陳：我在下圍棋的時候，全神貫注到這種程度，以至我可以說，這時如果有人呼我的話，肯定是白費勁，因為我什麼也不會聽到。
老焦：如果你什麼也聽不到的話，怎麼會知道有人呼你呢？
以下哪項是對老焦的反應的最恰當的評價？
（A）老焦的話正確地指出了老陳的話中存在的邏輯矛盾。
（B）老焦的話假設：在老陳下圍棋的時候，實際上並沒有人呼他。
（C）老焦的話中包含著邏輯矛盾。
（D）老焦的話假設：老陳不可能知道有人呼他，除非他聽到了呼叫。
（E）老焦的話假設，如果有人呼老陳，他肯定能夠聽到

25．在美國，本國製造的汽車的平均耗油量是每21.5英里一加侖，而進口汽車的平均耗油量是每30.5英里一加侖。顯然，美國車的買主在汽油上的花費要遠高於進口汽車的買主。因此，美國的汽車工業在和外國汽車製造商的競爭中將失去很大一部分國內市場。
上述論證基於以下哪項假設？
（A）美國製造的汽車和進口汽車的價格性能比大致相同。
（B）汽車在使用過程中的花費是買主在購買汽車時的主要考慮之一。
（C）美國汽油的價格呈上漲趨勢。
（D）美國汽車的最高時速要高於進口汽車。
（E）目前在美國國內，國產汽車的銷售優於進口汽車。

[backcolor=#CCCCCC]答案：

1．E 2．D 3．B 4．E 5．E

6．A 7．E 8．E 9．B 10．A

11．C 12．D 13．C 14．C 15．E

16．E 17．D 18．E 19．C 20．A

21．C 22．B 23．C 24．D 25．B

⑨ 數學思想方法的思維方法

數學認識的一般性與特殊性
數學作為對客觀事物的一種認識，與其他科學認識一樣，其認識的發生和發展過程遵循實踐——認識——再實踐的認識路線。但是，數學對象（量）的特殊性和抽象性，又產生與其他科學不同的、特有的認識方法和理論形式。由此產生數學認識論的特有問題。
數學認識的一般性
認識論是研究認識的本質以及認識發生、發展一般規律的學說，它涉及認識的來源、感性認識與理性認識的關系、認識的真理性等問題。數學作為對客觀事物的一種認識，其認識論也同樣需要探討這些問題；其認識過程，與其他科學認識一樣，也必然遵循實踐——認識——再實踐這一辯證唯物論的認識路線。
事實上，數學史上的許多新學科都是在解決現實問題的實踐中產生的。最古老的算術和幾何學產生於日常生活、生產中的計數和測量，這已是不爭的歷史事實。數學家應用已有的數學知識在解決生產和科學技術提出的新的數學問題的過程中，通過試探或試驗，發現或創造出解決新問題的具體方法，歸納或概括出新的公式、概念和原理；當新的數學問題積累到一定程度後，便形成數學研究的新問題（對象）類或新領域，產生解決這類新問題的一般方法、公式、概念、原理和思想，形成一套經驗知識。這樣，有了新的問題類及其解決問題的新概念、新方法等經驗知識後，就標志著一門新的數學分支學科的產生，例如，17世紀的微積分。由此可見，數學知識是通過實踐而獲得的，表現為一種經驗知識的積累。
這時的數學經驗知識是零散的感性認識，概念尚不精確，有時甚至導致推理上的矛盾。因此，它需要經過去偽存真、去粗取精的加工製作，以便上升為有條理的、系統的理論知識。
數學知識由經驗知識形態上升為理論形態後，數學家又把它應用於實踐，解決實踐中的問題，在應用中檢驗理論自身的真理性，並且加以完善和發展。同時，社會實踐的發展，又會提出新的數學問題，迫使數學家創造新的方法和思想，產生新的數學經驗知識，即新的數學分支學科。由此可見，數學作為一種認識，與其他科學認識一樣，遵循著感性具體——理性抽象——理性具體的辯證認識過程。這就是數學認識的一般性。
數學認識的特殊性
科學的區分在於研究對象的特殊性。數學研究對象的特殊性就在於，它是研究事物的量的規定性，而不研究事物的質的規定性；而「量」是抽象地存在於事物之中的，是看不見的，只能用思維來把握，而思維有其自身的邏輯規律。所以數學對象的特殊性決定了數學認識方法的特殊性。這種特殊性表現在數學知識由經驗形態上升為理論形態的特有的認識方法——公理法或演繹法，以及由此產生的特有的理論形態——公理系統和形式系統。因此，它不能像自然科學那樣僅僅使用觀察、歸納和實驗的方法，還必須應用演繹法。同時，作為對數學經驗知識概括的公理系統，是否正確地反映經驗知識呢？數學家解決這個問題與自然科學家不盡相同。特別是，他們不是被動地等待實踐的裁決，而是主動地應用形式化方法研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。為此，數學家進一步把公理系統抽象為形式系統。因此，演繹法是數學認識特殊性的表現。
概括數學本質的嘗試
數學認識的一般性表明，數學的感性認識表現為數學知識的經驗性質；數學認識的特殊性表明，數學的理性認識表現為數學知識的演繹性質。因此，認識論中關於感性認識與理性認識的關系在數學認識論中表現為數學的經驗性與演繹性的關系。所以，認識數學的本質在於認識數學的經驗性與演繹性的辯證關系。那麼數學哲學史上哲學家是如何論述數學的經驗性與演繹性的關系，從而得出他們對數學本質的看法的呢？
數學哲學史上最早探討數學本質的是古希臘哲學家柏拉圖。他在《理想國》中提出認識的四個階段，認為數學是處於從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識。這是柏拉圖對數學知識在認識論中的定位，第一次觸及數學的本質問題。
17世紀英國經驗論哲學家J.洛克在批判R.笛卡爾的天賦觀念中建立起他的唯物主義經驗論，表述了數學經驗論觀點。他強調數學知識來源於經驗，但又認為屬於論證知識的數學不如直覺知識清楚和可靠。
德國哲學家兼數學家萊布尼茨在建立他的唯理論哲學中，闡述了唯理論的數學哲學觀。他認為：「全部算術和全部幾何學都是天賦的」；數學只要依靠矛盾原則就可以證明全部算術和幾何學；數學是屬於推理真理。他否認了數學知識具有經驗性。
德國哲學家康德為了克服唯理論與經驗論的片面性，運用他的先驗論哲學，從判斷的分類入手，論述了數學是「先天綜合判斷」。由於這一觀點帶有先驗性和調和性，所以它並沒有解決數學知識的經驗性與演繹性的辯證關系。
康德以後，數學發展進入一個新時期，它的一個重要特點是公理化傾向。這一趨勢使大多數數學家形成一種認識：數學是一門演繹的科學。這種觀點的典型代表是數學基礎學派中的邏輯主義和形式主義。前者把數學歸結為邏輯，後者把數學看作是符號游戲。1931年哥德爾不完全性定理表明了公理系統的局限性和數學演繹論的片面性。這就使得一些數學家開始懷疑「數學是一門演繹科學」的觀點，提出，數學是一門有經驗根據的科學，但它並不排斥演繹法。這引起一場來自數學家的有關數學本質的討論。
拉卡托斯為了避免數學演繹論與經驗論的片面性，從分析數學理論的結構入手，提出數學是一門擬經驗科學。他說：「作為總體上看，按歐幾里得方式重組數學也許是不可能的，至少最有意義的數學理論像自然科學理論一樣，是擬經驗的。」盡管拉卡托斯給封閉的歐幾里得系統打開了第一個缺口，但是，擬經驗論實際上是半經驗論，並沒有真正解決數學性質問題，因而數學家對它以及數學哲學史上有關數學本質的概括並不滿意。1973年，數理邏輯學家A.羅賓遜說：「就應用辯證法來仔細分析數學或某一種數學理論（如微積分）而言，在我所讀的從黑格爾開始的這方面的著作中，還沒有發現經得起認真批判的東西。」因此，當計算機在數學中的應用引起數學研究方式的變革時，特別是當計算機證明了四色定理和藉助計算機進行大量試驗而創立分形幾何時，再次引起了數學家們對「什麼是證明？」「什麼是數學？」這類有關數學本質的爭論。
數學本質的辯證性
正因為一些著名數學家不滿意對數學本質的概括，他們開始從數學研究的體驗來闡明數學的經驗性與演繹性的相互關系。D.希爾伯特說：數學的源泉就在於思維與經驗的反復出現的相互作用，馮·諾伊曼說：數學的本質存在著經驗與抽象的二重性；R.庫朗說：數學「進入抽象性的一般性的飛行， 必須從具體和特定的事物出發，並且又返回到具體和特定的事物中去」；而A.羅賓遜則寄希望於：「出現一種以辯證的研究方法為基礎的、態度認真的數學的哲學」。
本節將根據數學知識的三種形態（經驗知識、公理系統和形式系統）及其與實踐的關系，具體說明數學的經驗性與演繹性的辯證關系。
經驗知識是有關數學模型及其解決方法的知識。數學家利用數學和自然科學的知識，從現實問題中提煉或抽象出數學問題（數學模型），然後求模型的數學解（求模型解），並返回實踐中去解決現實問題。這一過程似乎是數學知識的簡單應用，但事實並非如此。因為數學模型是主觀對客觀的反映，而人的認識並非一次完成，特別是遇到復雜的問題時，需要修正已有的數學模型及其求解的方法和理論，並經多次反復試驗，才能解決現實問題。況且社會實踐的發展，使得舊的方法和知識在解決新問題時顯得繁瑣，甚至無能為力，從而迫使數學家發明或創造新的方法、思想和原理，並在實踐中得到反復檢驗，產生新的數學分支學科。這時的數學知識是在解決實踐提出的數學問題中產生的，屬於經驗知識，具有經驗的性質。
數學的經驗性向演繹性轉化 第一部分講過，數學經驗知識具有零散性和不嚴密性，有待於上升或轉化為系統的理論知識；而數學對象的特殊性使得這種轉化採取特殊的途徑和方法——公理法，產生特有的理論形態——公理系統。所以，數學的經驗性向演繹性的轉化，具體表現為經驗知識向作為理論形態的公理系統的轉化。
公理系統 是應用公理方法從某門數學經驗知識中提煉出少數基本概念和公理作為推理的前提，然後根據邏輯規則演繹出屬於該門知識的命題構成的一個演繹系統。它是數學知識的具體理論形態，是對數學經驗知識的理論概括。就其內容來說，是經驗的；但就其表現形式來說，是演繹的，具有演繹性質。因為數學成果（一般表現為定理）不能靠歸納或實驗來證實，而必須通過演繹推理來證明，否則，數學家是不予承認的。
公理系統就其對經驗知識的概括來說，是理性認識對感性認識的抽象反映。為了證實這種抽象反映的正確性，數學家採取兩種解決辦法。一是讓理論回到實踐，通過實際應用來檢驗、修改理論。歐幾里得幾何的不嚴密性就是通過此種方法改進的。二是從理論上研究公理系統應該滿足的性質：無矛盾性、完全性和公理的獨立性。這就引導數學家對公理系統的進一步抽象，產生形式系統。
形式系統 是形式化了的公理系統，是由形式語言、公理和推理規則組成的。它是應用形式化方法從不同的具體公理系統中抽象出共同的推理形式，構成一個形式系統；然後用有窮推理方法研究形式系統的性質。所以，形式系統是撇開公理系統的具體內容而作的進一步抽象，是數學知識的抽象理論形態。它採用的是形式推理的方法，表現其知識形態的演繹性。
數學的演繹性向經驗性的轉化 這除了前面說過的認識論原因外，對公理系統和形式系統的研究也證實了這種轉化的必要性。哥德爾不完全性定理嚴格證明了公理系統的局限性：（1 ）形式公理系統的相容性不可能在本系統內得到證明，必須求助於更強的形式公理系統才能證明。而相容性是對公理系統最基本的要求，那麼在找到更強的形式公理系統之前，數學家只能像公理集合論那樣，讓公理系統回到實踐中去，通過解決現實問題而獲得實踐的支持。（2 ）如果包含初等算術的形式公理系統是無矛盾的，那麼它一定是不完全的。這就是說，即使形式系統的無矛盾性解決了，它又與不完全性相排斥。「不完全性」是指，在該系統中存在一個真命題及其否定都不可證明（稱為不可判定命題）。所以，「不完全性」說明，作為對數學經驗知識的抽象的公理系統，不可能把屬於該門數學的所有經驗知識（命題）都包括無遺。對於「不可判定命題」的真假，只有訴諸實踐檢驗。因此，這兩種情況說明，要解決公理系統的無矛盾性和不可判定命題，必須讓數學的理論知識返回到實踐接受檢驗。
由此可見，數學的認識過程是：在解決現實問題的實踐基礎上獲得數學的經驗知識；然後上升為演繹性的理論知識（公理系統和形式系統）；再返回到實踐中，通過解決現實問題而證實自身的真理性，完善或發展新的數學知識。這是辯證唯物論的認識論在數學認識論上的具體表現，反映了數學本質上是數學知識的經驗性與演繹性在實踐基礎上的辯證統一。

⑩ 數學思維能力培養，如何進行數學思維訓練

有句話說的好：「數學是鍛煉思維的體操」。這句話巧妙地道出了數學學科的特點。它說明數學本身具有發展學生智力的功能。小學生雖然年齡小，但思維活躍，好奇心強，且聯想豐富。因此，教師要根據小學生的思維特點，結合教學內容對學生進行思維訓練，讓學生在思維活動中掌握知識，並積極加以運用，使知識得以內化，使思維得到發展。
課堂是師生們共有的大舞台，學生是舞台上的主角，要使學生們在這個舞台上大有作為，教師就必須在課堂教學中努力培養學生的思維能力。
1、創設情境，激發思維。
俗話說：良好的開端，成功的一半。在課堂教學的一開始就要吸引住學生，使學生積極投入到學習中去，這樣就能充分發揮學生參與學習的主觀能動作用，讓他們進行創造性地學習，變「要我學」為「我要學」。
例如，李文燕老師在「周長」這一課教學中，首先出示了一片落葉：問：小螞蟻要繞著這片樹葉走一圈，怎麼走？你們可以指一指嗎？學生指出以後，引入課題：這就是樹葉的周長，我們這節課就來認識周長。這樣，通過創設情境，激發學生的求知慾，有效地開啟學生思維的閘門。
2、 多種方法，促進思維。
培養學生的思維能力要貫穿整個數學課堂教學的全過程。有了良好的開端，那麼，開拓學生的思維路徑，培養學生的思維能力，就要隨著學習內容的不斷深入而相機進行。在這個教學過程中，可以運用多種教學方法或形式來拓寬學生的思維廣度，開掘學生的思維深度，培養學生思維的靈活性、獨特性、新穎性。
如：文燕老師在《周長》這課，在測量物體的周長時，給了學生一些工具：直尺、線繩等。學生通過小組討論發現了測量直線圖形時，用直尺測量方便；測量曲線圖形時，用線繩繞一圈後再測量線繩的長度效果更好。學生通過討論，拓寬了思路，提高了學習數學的興趣。也使學生的思維能力得到了初步的培養。
3、自主學習，鍛煉思維。
課堂是學生表演的地方，教師要滿足學生的表現欲，為他們提供自主學習，自主活動的時間和空間，讓學生大膽說，說錯了也不要緊。
例如，在《周長》練習時，文燕老師設計了一個缺角的長方形，問學生如何量這個長方形的周長？學生經過思考得出：把線條移動一下轉變為一個長方形，就可以量取長方形的周長。這樣，學生享有廣闊的思維空間，課堂中能不時迸發出智慧的火花。學生的思維能力不斷得到鍛煉。
4、動手操作，誘發思維。
教育家陶行知說過：「人生兩個寶，雙手和大腦」。動手、動腦是培養學生思維能力的有效途徑。在教學過程中，我們要給學生創造動口表達、動手操作、動腦思考的機會，學生才有機會想辦法解決問題，思維能力才會逐步發展。
如，文燕老師 「周長」這課的教學時，首先是讓學生們自己隨意畫幾個封閉的圖形，然後讓他們同桌互相用手指指一指自己所畫圖形的一周。他們在動手操作與感官感受中理解了「封閉圖形一周的長度叫做圖形的周長」這個概念。在這節課的最後，文燕老師又出了一道動手操作題「用兩塊長4厘米，寬2厘米的長方形紙片可拼成哪些圖形？這些圖形的周長怎麼求？」。題目出示後，文燕老師讓全班學生分成六組，共同合作探究，同學們有的動手拼，有的著手計算，有的還在出謀劃策。不一會，各種拼成的圖形已擺在桌面上，它們的周長也已計算出來。學生們在操作活動中鞏固了計算周長的方法，又在合作探究中體驗到了成功的快感。活動中，學生們的思維始終處於積極興奮狀態，在活動中，他們掌握了知識，習得了能力，促進了思維的發展。
5、鞏固知識，深化思維。
在課堂教學中，還可以利用對練習的精心編排來達到培養學生思維能力的目的。對於練習的編排應設計一定的階梯，形成一定的坡度，引導學生拾級而上，從簡單到復雜，思維由此而開拓。
例如，文燕老師在《周長》這一課的教學時就設計了這樣一組練習：第一層次練習：計算下列長方形和正方形的周長。第二層次練習：如圖，用22米長的鐵絲網靠牆圍起三條邊，成為一個長方形的養雞場。已知它的寬是6米，它的長是多少米？第三層次練習：計算下列多邊形的周長（單位：厘米）在這組練習中，第一層次練習比較簡單，學生稍加思考就能解答。第二層次練習就需要學生加深思考，靈活運用，才能解答出來。而到了第三層次練習，就要盡可能多地讓學生活躍思維，大膽暴露自己的思維過程。學生中就會出現 多種解法。這時，我適時引導，讓學生討論出哪種方法比較簡便，並給予肯定，讓學生體會到積極動腦後所帶來的成功喜悅。
新課程強調了培養學生的思維能力是數學課的重要任務，作為數學教師，就一定要動用各種教學方法，採用多種教學形式，在課堂教學中努力培養學生的思維能力。這是為了學生，為了學生的未來，也是為了民族的未來。