矩阵消元法的快速方法

❶ 将矩阵化简为行最简形矩阵有什么技巧，或者一般有什么特定的步骤么

对调两行；以非零数k乘以某一行的所有元素；把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

下列三种变换称为矩阵的行初等变换：

（1）对调两行；

（2）以非零数k乘以某一行的所有元素；

（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。

行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的。

将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。

(1)矩阵消元法的快速方法扩展阅读：

将矩阵化简为行最简形矩阵的定理：

1、任一矩阵可经过有限次初等行变换化成阶梯形矩阵；

2、任一矩阵可经过有限次初等行变换化成行最简形矩阵；

矩阵在经过初等行变换化为最简形矩阵后，再经过初等列变换，还可以化为最简形矩阵，因此，任一矩阵可经过有限次初等变换化成标准形矩阵。

❷ 线性方程组有唯一解，无解，有无穷多解

假定对于一个含有n个未知数m个方程的线性方程组而言，若n<=m, 则有：

1、当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解；

2、当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解；

3、当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解；

4、若n>m时，当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解；

5、当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解。

(2)矩阵消元法的快速方法扩展阅读

线性方程组解题法则：

1、克莱姆法则：用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系。

2、矩阵消元法：将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

❸ 行最简形矩阵化简就只能通过看来化简吗

将矩阵化简为行最简形矩阵有多种化简方式，一般都是用可逆矩阵进行行列变换，在数值计算中，还经常用到正交型的变换与三角形的变换。
1、矩阵的QR分解：Q是一个正交阵，R是上三角矩阵。矩阵的QR分解可以有两种方法。
其一是Gram-Schmidt正交化方法。该方法的好处是，不论分解了多少步，都可以中途停止。利用这一方法得到的修正的Gram-Schmidt正交化方法，也可以算是Arnoldi方法是矩阵快速求特征值的方法。相关知识可参阅有关Krynov子空间的知识。
其二是Household正交三角化方法，该方法的本质是利用镜像变换算子将原矩阵下三角部分化为0。最后可以得到一个上三角矩阵。方法的缺点是不能中途停止。
2、矩阵的SVD分解：可将一个mxn矩阵通过乘以正交矩阵化简为单位阵和零矩阵的拼接。SVD（singular value decomposition），顾名思义奇异值分解，是适用于任何矩阵的一种分解。在求解低秩矩阵逼近时应用广泛。
3、Gauss消元法。这也是矩阵化简为标准型的一种方法。最后可以得到一个上三角矩阵。用途是求解线性方程组。优点是计算简便，缺点是稳定性分析过于复杂。
4、Schur分解：利用酉相似变换将一个复矩阵变换为一个上三角矩阵。在复矩阵是厄米矩阵的时候，最后可以得到一个对角矩阵。

❹ 矩阵消元法求解！在线等

1 -2 2 0
0 7 -7 0
0 3 -1 3
0 5 -15 -15
↓（第三行乘以-2加到第二行）
1 -2 2 0
0 1 -5 -6
0 3 -1 3
0 5 -15 -15
↓（第二行乘以-5加到第5行）
1 -2 2 0
0 1 -5 -6
0 3 -1 3
0 0 10 15
↓（第二行乘以-3加到第三行）
1 -2 2 0
0 1 -5 -6
0 0 14 21
0 0 10 15
↓（第三行除以7乘以2加到第二行，你自己写）

❺ 矩阵的初等变换有什么技巧，光是书本的知识太为难人了，求大神解答，谢谢！

实际上矩阵的变换只是线性方程组的几个方程进行加减消元的过程的抽象化体现。所以直接想象成解线性方程组，进行加减消元就可以了。

方法：看到一个矩阵，先看左上角那个数是不是1，是1，OK。如果不是1，和第一个数是1的那一行换一下。接下来，把第一列除了左上角的1之外所有元素变为0，这里用的就是行变换。

这个过程中，如果某两行对应成比例，就可以让其中的一行全变为0。直到将矩阵化为阶梯型，像台阶一样的形式，就可以了。

(5)矩阵消元法的快速方法扩展阅读

初等行变换

1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行。

2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数。

3）互换矩阵中两行的位置。

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作A-B.可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。

初等列变换

1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列。

2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数。

3）互换矩阵中两列的位置。

❻ 线性代数有几种解线性方程组的方法

1、克莱姆法则

用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。

用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

2、矩阵消元法

将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

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xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。

称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。

若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是：

一个方程组何时有解。

有解方程组解的个数。

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

❼ 线性代数，线性方程组的解

1、克莱姆法则

用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系。

2、矩阵消元法

将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

(7)矩阵消元法的快速方法扩展阅读：

求解线性方程组的注意事项：

1、用克莱姆法则求解方程组有两个前提：方程的个数要等于未知量的个数；系数矩阵的行列式要不等于零。

2、由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

3、当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

❽ 消元法解方程组，矩阵变换。实在看不懂它是怎么变的

你是说矩阵的变换那里？那就是矩阵的初等变换。
消去法解方程就是写出方程的系数矩阵，然后通过矩阵的初等变化把系数矩阵化成上三角矩阵，根据矩阵的秩来判断方程解的情况。

❾ 高斯-约旦列主元消去法。是最快速高效的矩阵求逆的方法吗

基本上可以说肯定不是。
首先要讲清楚是要求解线性方程组还是一定要显式求出矩阵的逆，如果是前者还涉及右端项到底有多少个，然后还要给所谓的快速和高效定一个标准，这样才有意义。
不过即便是对于无结构的普通方阵而言，通常纯的Gauss消去法比Gauss-Jordan消去法要好，因为O(n^3)部分的代价小，后续解方程时可以视情况而选择，而Gauss-Jordan消去则没有选择余地。

❿ 行列式加减消元法

那就是行列式法,可以直接得出结果:
二元一次方程组的
a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
判别式d=a1b2-a2b1
若d0, 有唯一x=(b2c1-b1c2)/d, y=(a1c2-a2c1)/d
若d=0, 若b2c1-b1c2=0,有无数解.两方程退化为同一方程.
若b2c1-b1c2,则无解.
三元一次方程组:
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
d0时有唯一
x=dx/d, y=dy/d, z=dz/d,
其中d, dx,dy,dz如下：
|a1 b1 c1 |
d =|a2 b2 c2 |,
|a3 b3 c3 |
|d1 b1 c1 |
dx= |d2 b2 c2 |,
|d3 b3 c3 |
|a1 d1 c1 |
dy =|a2 d2 c2 |,
|a3 d3 c3 |
|a1 b1 d1 |
dz= |a2 b2 d2 |,
|a3 b3 d3 |