A. （转载）流形学习（manifold learning）综述
流形学习是数据处理领域中的一个广泛概念，尤其在2000年后发展迅速。主要依赖于2000年Science杂志上发表的两篇文章，如Isomap和LLE（局部线性嵌入），它们被认为是非线性降维方法的重要分支。
流形学习的核心概念在于，假设数据采样自潜在的流形，即一组高维空间中的数据可以被表示在低维空间中，同时保持数据间的几何性质。流形可以是任何维度的曲线或曲面，如球面、螺旋线等。为了在低维空间中表示流形上的点，我们通常将流形放入外围空间中，用外围空间的坐标来表示流形上的点。例如，球面作为三维空间中的二维曲面，可以通过三维欧几里得空间中的坐标来表示，尽管球面上的点实际上只有两个自由度。
流形学习的关键在于找到一组内在坐标（intrinsic coordinates），这些坐标可以在保持流形上点的几何性质的同时，将数据从高维空间映射到低维空间。这个过程类似于参数化（parameterization），将复杂的几何对象展平或展开，以更简单的形式表示。低维表示在统计学中称为内蕴特征（intrinsic features），在视觉感知研究中则称为内蕴坐标（intrinsic coordinates）。外围空间的维数称为观察维数（observation），表示的是在实际测量或观察时数据的维度。
在流形学习领域，Isomap和LLE是代表性方法。Isomap通过保持欧氏距离，利用多维尺度分析（MDS）来实现流形上的测地线距离的保持。LLE则假设局部区域是线性的，通过最小二乘法找到每个点在局部邻域内的线性表示，进而刻画流形的局部几何性质。这些方法在算法实现上都相对复杂，因此需要考虑一些优化技巧，如异常值检测和嵌入缩放。
流形学习的研究者Dave Saul是该领域的先驱之一，他与Isomap和LLE的其他作者共同开创了流形学习的研究方向。LLE的作者之一Kilian Weinberger将学习核矩阵引入流形学习中，产生了广泛影响，而Fei Sha则在机器学习领域崭露头角。这些成果不仅推动了流形学习的研究，也影响了凸优化领域。
在流形学习方法中，Laplacian Eigenmaps（拉普拉斯特征映射）是一个全面的代表，它使用图论方法来描述流形，并通过图嵌入来寻找低维表示。虽然速度较快，但Laplacian Eigenmaps在处理异常值时具有较好的鲁棒性。后来，Belkin和Niyogi分析了Laplacian Eigenmaps的收敛性，强调了数学分析的重要性。
Hessian Eigenmaps（哈密尔顿特征映射）方法依赖于黎曼几何，通过分析流形的局部性质来找到低维表示。然而，这种方法需要对流形有深入的数学理解，通常对初学者来说较为抽象，因此理解起来可能较为困难。
Local Tangent Space Alignment（局部切空间对齐）是浙江大学数学系教授Zhang Zhenyue及其团队提出的方法，它通过计算局部切空间来实现流形学习。这种方法通过数值计算实现，直观且易于理解，对流形学习领域产生了重要影响。
Maximum Variance Unfolding（最大方差展开）和S-Logmaps（S坐标地图）等方法，各自在特定方面展现出独特优势，如使用核方法、半正定规划和利用测地线长度进行低维表示等。
流形学习领域目前仍处于理论探讨阶段，实际应用中面临噪声敏感、采样问题、收敛性以及在识别任务中线性化效果优于非线性方法的挑战。尽管存在这些问题，流形学习仍是一个活跃的研究领域，尤其是在图形学中得到了广泛的应用。最近，偏微分几何方法在流形学习中的应用显示出巨大的潜力。