教学时注意概念的内涵和外延
概念的内涵指的是概念所反映对象的本质特征；概念的外延指的是概念所反映的本质属性的对象,概念的内涵是质的方面,概念的外延是概念量的方面,它说明概念所反映的事物有哪些.概念的内涵和外延是对立统一的,内涵明确,则外延清晰；外延清晰则内涵明确.例如在新课程必修4的角的概念的推广的教学中,角的概念的内涵是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,外延就是角的分类：正角,负角和零角.在教学中,可以通过变式来明确概念的外延.
例：函数奇偶性的教学（人教A版）
函数的奇偶性是必修1的内容,是函数单调性之后很重要的一个性质.在教材中,通过具体的函数得到了偶函数的概念,
由,得到了奇函数的概念.教材中通过例5让学生判断函数的奇偶性,笔者认为,通过这样的习题还没有真正明确函数奇偶性这个概念的外延.
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B. 数学概念教学方法具体是什么
数学概念是抽象化的空间形式和数量关系,是反映数学对象本质属性的思维形式。数学概念也是数学基础知识和基本技能的核心,它是理解、掌握其它数学知识的基础,对培养学生的逻辑思维和灵活运用知识实现迁移的能力有重要的作用，在数学课堂中如何有效地实施概念教学,直接影响教学效果的提高。现结合数学概念教学的实践,谈几点自己的认识与做法。
一、重视教学情境创设，实现概念引入的自然化
数学教材多是直接给定概念,教师应遵循高中数学新课标的要求,加强概念的引入,引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程。合理设置情境,使学生积极参与教学,了解知识发生、发展的背景和过程,使学生感受到学习的乐趣,这样也能使学生加深对概念的记忆和理解。
1.以数学史话引入概念
教学中，适当引入与数学概念相关的故事，并巧妙处理，既可激发学习兴趣，又可达到教育之目的。如教曲线方程时讲讲笛卡尔和费马；学数列时讲数学家高斯故事；讲二项式定理时向学生介绍杨辉等。在故事引入的同时鼓励学生勇于探索，培养他们爱科学、学科学、用科学的科学精神。
2.以实际问题引入概念
数学概念来源于实践,又服务于实践。从实际问题出发引入概念,使得抽象的数学概念贴近生活,使学生易于接受,还可以让学生认识数学概念的实际意义,增强数学的应用意识。例如可从教室内墙面与地面相交,且二面角是直角的实际问题引入“两个平面互相垂直”的概念。
3.利用学生探究实现概念的自然引入
以概念为基础，以过程为导向，是概念教学的基本理念。让学生在学习中发现问题，并通过一定的方式解决问题，这是新课程理念的最好体现。在概念教学过程中，教师应在学生现有的知识背景、能力水平和心理特点的基础上，给学生提供适当的范例，引导学生对实例进行观察、比较，对概念进行假设、验证，从而获得正确的概念。如在“异面直线距离”的概念教学时，不妨先让学生回顾学过的有关距离的概念，如两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离，引导学生发现这些距离的共同特点是最短与垂直。然后启发学生思考在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离最短？如果存在，有什么特征？经过探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在。在此基础上，自然地得到“异面直线距离”的概念。在引入过程中调动了学生积极性，培养了勇于发现，大胆探索的精神。
二、善于解剖概念，实现概念教学的深刻化
数学概念是为了解决数学问题，对概念理解不清，在解题时就会出现错误；对概念理解不透彻，常会遇到问题束手无策。要正确深刻地理解概念绝非易事，数学概念具有严密的科学性，因此概念教学应让学生准确把握概念的内涵和外延，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当引导学生剖析概念，抓住概念的实质。在教学中可以从以下几个方面解剖概念：
1.强调概念中的关键词语
如对函数概念中的“任何”与“唯一”要重点强调。然后举例 ，前者可以称 是 的函数，后者不能称 是 的函数。因为对于任何一个 ,不是对应唯一 。这样通过正反实例，强调概念中的关键词语，更能加深概念的理解。
2.注重数学语言的翻译
数学语言有文字语言、符号语言、图形语言。符号语言有较强的概括性，更能反映概念的本质。如等差数列的概念可用符号“ ”（ 为常数）概括。用定义证明一个数列是等差数列时，就是应用概念的符号语言。图形语言则能更形象地反映概念的内容。如讲“交集”概念时，用文氏图表示“A B”，可以很容易理解概念。
3.注重相似概念的对比分析
有比较才有鉴别。用对比方法找出容易混淆的概念的异同点，有助于学生区分概念，获取准确、明晰的认识。比如对分类计数原理与分步计数原理、排列与组合的概念，就可以通过概念对比，并结合实例的方式加深概念理解。
三、精心设计练习，实现概念教学的持续化
数学概念教学的主要目的是让学生在理解概念的基础上,运用知识解决数学问题,提高数学能力,全面提高学生素质。所以在练习设计上一定要精、针对性强,便于提高学生的能力。
1.加强应用概念中易错原因剖析
很多概念本身就是解题方法。如“反函数”概念，就已经体现了反函数求法：“反解 ”——“将 与 互换”——“标明反函数的定义域”（要通过原函数的值域来确定）。在反函数的求解中，学生常出现反函数定义域由反函数解析式本身确定而导致的错误。如果注意在解题中强化反函数概念以及它的由来，就可以避免这样的错误了。
2.加强概念的逆用、变用，从中获得解题方法
C. 初中数学概念教学的几种基本方法
《数学课程标准》指出：有效的数学活动，不能单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。我在教学中不断尝试、探索、总结，学生基本上形成了新的学习方式，促进了学生全面持续发展，培养了学生终身学习的能力，实现了课程改革目标。 数学概念是用简练的语言对研究对象的本质属性的高度概括，是学生学习数学、接受新知识的基础。准确而又彻底地理解和掌握数学课堂学习中的概念是学生学好数学的必备条件。数学概念一般包括定义、定理及推论，其中每一个字、词，每一句话、每一条注解或注释都是经过认真而又细致地推敲并有特定的意义，以保证概念的完整性和科学性。 初中数学概念的教学在整个教学阶段乃至整个数学学习当中又起到了相当重要的作用。加之初中学生理解能力和阅读能力较弱，因此，教师在教学过程中应认真讲解概念，不能忽视每一个概念，不能认为概念是条条，只要学生记住就行了，而是让学生彻底理解并在此基础上去记忆。这样不仅能使学生记得牢，更重要的是学生能通过概念举一反三、融会贯通，从而达到教学的要求。因此，教好初中数学概念这一关是非常重要和必要的。 一、情境引导，发现本质 概念是对研究对象的本质属性的概括。而本质属性的概括的过程是一个由感性到理性、由特殊到一般的思维过程，要使学生获得清晰的概念，就要在概念教学中充分开展这样一个过程。按照初中生的年龄特征，要尽量联系学生的实际生活经验引入概念，让学生在不知不觉中对概念潜移默化，而不是照本宣科，死记词句。例如，在教学平面内点的直角坐标的概念时，实质上是建立在平面内点和有序实数对的一一对应关系基础之上。我们可以借助于学生们看电影时找座位等一些学生所熟悉的实例来引入课题，让学生在无意识状态下进入新的概念学习当中，而不是就书认书，硬背概念。当然，要注意这样做的本身并不是目的，它只是实现教学目标的一种手段，是为了用形象的实例来探讨研究对象的抽象本质属性，因而应把精力放在如何把感性认识上升到理性认识这一过程上来。另外，生活实例并不等于数学概念，有的包括非本质属性，而有的遗漏了某些本质属性，因此教者在举例时必须切实，防止学生对概念的曲解，走向另一个极端。 此外，在概念的教学过程中，要在概念的系统中形成概念，而不是突如其来地灌给学生。从原有的概念基础上引入，既要注意从学生已有的知识的基础上引入新概念，又要充分揭示新知识与旧概念的矛盾，使学生认识到旧概念的局限性，学习新概念的必要性。这就要求我们教者在教学前要很好地分析新概念在概念系统中的位置。例如，算术根在教材中的位置，它的前面是方根，后面是根式。它是为了便于研究根式的性质和进行根式的运算，因为正数的平方根有两个值，它们互为相反数。因此研究二次根式的性质只要研究算术平方根的性质就可以了。算术根是为了解决实数范围内方根运算的可行和单值而出现的，从而为研究根式铺平了道路，它在概念系统中起到了承上启下的作用。 二、呈现定义，促进理解 概念的定义是我们所研究对象的本质属性的概括，措辞更是精炼，每个字词都有其重要的作用。为了深刻领会概念的含义，教师不仅要注意对概念论述时用词的严密性和准确性，同时还要及时纠正某些不当及概念认识上的错误，这样有利于培养学生严密的逻辑思维习惯，逐步养成对定义的深入钻研，逐字逐句加以分析，认真推敲的良好习惯。 例如，在讲解等腰三角形概念时，一定要强调概念中的有两条边相等的“有”字，而不是只有两条边相等的“只有”二字。前面的有两条边相等包括了两种情况：一是只有两条边相等的等腰三角形，即腰与底不相等的等腰三角形；二是三条边相等的等腰三角形又叫等边三角形，而后面的仅仅涉及到一种情况，排除了等边三角形也是等腰三角形的这一特殊情况。又如，“a、b、c不全等于零”和“a、b、c全不等于零”，这两条定义字词都一样，只是位置不同，但意义截然不同。再如，不在同一直线上的三点确定一个圆，若改写成三点确定一个圆，得出一个新命题，它既包括了三点在同一直线上也包括了三点不在同一直线上的两种情形，而在同一直线上的三点不可能确定一个圆，即圆上任意三点都不在同一直线上。故将不在同一直线上三点确定一个圆写成三点确定一个圆是不成立的。因此，在讲述此概念时应突出“不在同一直线上”这句话。 三、新旧联系，正反对照 有些概念单纯地讲学生难以接受，难以掌握。但是把某些相关或相对的概念放在一起进行类比、对照，使学生既了解它们之间的联系又注意到它们的区别，会使学生茅塞顿开，另辟蹊径。两个概念之间的关系，可分为相容和不相容两种，相容又可分为同一、交叉和从属三种关系。例如，正整数和自然数是同一关系，平方根和算术平方根是从属关系，方根和根式是交叉关系，矩形和菱形是交叉关系，平行四边形和梯形是不相容关系。又如：讲“仰角”和“俯角”时，将这两个概念进行对照比较，就不难区别谁是“仰角”，谁是“俯角”。再如，“圆心角”与“圆周角”，同学们已经知道了“圆心角”是顶点在圆心的角，由此及彼，大部分学生就可以得出“圆周角”的定义：顶点在圆上的角叫“圆周角”这又恰恰错了。此时教师再将“圆周角”的定义叙述出来，学生就会觉得恍然大悟。这样通过比较“圆心角”与“圆周角”的概念一目了然，清清楚楚。 对数学概念的深刻理解，是提高学生解题能力的基础；反之，也只有通过解题，学生才能加深对概念的认识，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延。课本中直接运用概念解题的例子很多，教学中要充分利用。同时，对学生在理解方面易出错误的概念，要设计一些有针对性的题目，通过练习、讲评，使学生对概念的理解更深刻、更透彻。 四、深入剖析，揭示本质 数学概念是数学思维的基础，要使学生对数学概念有透彻清晰的理解，教师首先要深入剖析概念的实质，帮助学生弄清一个概念的内涵与外延。也就是从质和量两个方面来明确概念所反映的对象。如，掌握垂线的概念包括三个方面：①了解引进垂线的背景：两条相交直线构成的四个角中，有一个是直角时，其余三个也是直角，这反映了概念的内涵。②知道两条直线互相垂直是两条直线相交的一个重要的特殊情形，这反映了概念的外延。③会利用两条直线互相垂直的定义进行推理，知道定义具有判定和性质两方面的功能。另外，要让学生学会运用概念解决问题，加深对概念本质的理解。如。“一般地，式子(a≥0)叫做二次根式”这是一个描述性的概念。式子(a≥0)是一个整体概念，其中a≥0是必不可少的条件。又如，讲授函数概念时，为了使学生更好地理解掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，进行逐层剖析：①“存在某个变化过程”——说明变量的存在性；②“在某个变化过程中有两个变量x和v”——说明函数是研究两个变量之间的依存关系；③“对于x在某一范围内的每一个确定的值”——说明变量x的取值是有范围限制的，即允许值范围；④“v有唯一确定的值和它对应”——说明有唯一确定的对应规律。由以上剖析可知，函数概念的本质是对应关系。 总之，数学概念教学对整个数学教学起着至关重要的作用，教师在数学概念教学中应努力通过揭示概念的形成、发展、巩固和应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观念。完善学生的认知结构，发展学生的思维能力，从而提高数学教学质量。
D. 如何在概念教学中提高学生的认知规律
首先纠正一下，不能叫提高学生的认知规律，你的问题应该是：如何运用认知规律提高概念教学效率。
你是老师吗？我就当你是老师吧，所以有些大前提我就不多解释了。作为一个老师，你这问题问的……够语无伦次的。
先说认知规律，你应该参考安德森改进布卢姆版的《认知目标分类学》和罗伯特·马扎诺的《新认知目标分类学》。安德森版提出的认知结构是——识记、理解、应用、分析、评价、创新。马扎诺的认知系统则是：提取、领会、分析、应用。
对知识的定义，两家描述是一样的：陈述性知识、心理程序知识和心因性的动作程序知识
一般来说，概念教学属于陈述性知识，对于陈述性知识的教学，我建议参考马扎诺的理论，因为他的理论基础是信息加工论，所以，我建议你的教学过程按照“提取”、“领会”、“分析”、“应用”这四个层次进行。
提取：它所强调的是你要教授的这个概念与学生以往的任何经验和记忆有关联吗？不要交手一个全新的概念，而是要把新概念和旧概念建立联系，这便于学生迅速接受新概念。
领会：也就是安德森版分类学中的理解，促进学生理解的教学方法包括要求学生转述概念（切记不要背诵，而是要转述），要求学生把概念精炼化，要求学生举出与概念相关的3个以上的例子，要求学生以不同的方式表述概念（例如把数学定理用公式描述，把一个公式用语言来描述，把一段文字概念用图例描述等）。这些手段都是促进学生对概念理解的。
分析：一定要有这个环节，这是中国教育普遍缺乏的环节。分析就是对所学的概念进行分析，可以拆解概念，可以质疑概念，可以运用反证法、归谬法等手段，对所学的概念加以分析。这个阶段就是要学生怀疑所学的概念，尽信书不如无书，凭什么书上写的都是对的？凭什么老师说的都是对的？这是对概念进行知识深加工的一个环节，不可或缺！
应用：所有的知识和概念都要务求“有用”，如果你不能证明某个概念是有用的，你当然就无法要求学生永远记住这些无用的知识。而应用所强调的绝非是你去告诉学生，这个概念如何如何有用，而是要给学生设计任务，让学生用到这些概念。这意味着要让学生完成问题解决等现实任务，只有如此，才能把知识、概念内化，最终变成一种技能伴随学生一生。你看美国总会要求小学生写本书，其实就是在强调操作性的应用。学知识不如用知识，学概念不如用概念。
以上，应该说就是按照认知规律的概念教学过程，这只是个原则，并不等于是具体的教学设计，根据学科不同，你还需要具体设计教学内容。
再说：假如你想问的是如何通过概念教学提高学生的认知能力，那其实与按照认知规律的教学是相同的道理。因为你要提高学生的认知能力，首先需要按照认知规律教学，而按照认知规律的教学设计本身就是在训练学生认知的单元能力和认知的策略，这个教学过程是隐性的。