有哪些极限计算方法

❶ 高等数学求极限有哪些方法

1、其一，常用的极限延伸，如：lim(x->0)(1+x)^1/x=e，lim(x->0)sinx/x=1。极限论是数学分析的基础，极限问题是数学分析中的主要问题之一，中心问题有两个：一是证明极限存在，极限问题是数学分析中的困难问题之一；二是求极限的值。

2、其二，罗比达法则，如0/0,oo/oo型，或能化成上述两种情况的类型题目。两个问题有密切的关系：若求出了极限的值，自然极限的存在性也被证明。

3、其三，泰勒展开，这类题目如有sinx，cosx，ln(1+x)等等可以迈克劳林展开为关于x的多项式。反之，证明了存在性，常常也就为计算极限铺平了道路。本文主要概括了人们常用的求极限值的若干方法，更多的方法，有赖于人们根据具体情况进行具体的分析和处理。

4、等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等价于Ax 等等 。（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。

5、知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化。

❷ 求极限，有什么好方法

极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，是从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变的一种数学方法。同时，极限是微分的理论基础，研究函数的性质实际上就是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分等，由此可见极限的重要性。而如何求极限，怎样使求极限变得容易，这是绝大多数学生尤其是基础较差的中专学生较为头痛的问题。求极限不仅要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，而且还要能准确地求出各种极限。求的方法很多，针对中专学生的实际情况，笔者从基本概念、基本思路和计算方法三个方面总结如下。

一．基本概念

要求函数的极限，首先而且必须要正确理解函数的极限以及与其有关的几个重要的基本概念。

⒈ ； .

以上两个充要条件不仅给出了判断极限是否存在的一个准则，而且指明了含义为两方面；的含义为两方面。

⒉无穷大和无穷小

无穷大和无穷小（除常数0外）都不是常数，而是两类具有特定变化趋势的变量，如果变量在某变化过程中，其绝对值无限制地增大，则称在该变化过程中，为无穷大；如果在某变化过程中变量以零为极限，则称在该变化过程中，为无穷小。笼统说某变量是无穷大或无穷小而没有指出变化趋势都是不正确的。

要求极限必须理解下面几个与无穷大或无穷小有关的重要关系，它们对求函数的极限非常有用。

⑴函数的极限与无穷小的关系：

⑵无穷小与无穷大的关系：在同一变化过程中，若为无穷大，则是无穷小；若是无穷小，则是无穷大。

⑶无穷小与有界函数的关系：无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。

⒊函数连续与极限的关系

在某点处函数的连续性与极限既区别又联系。

区别是：函数在某点处连续不仅要求函数在这一点有极限，而且要求函数在这点处的极限值一定等于该点的函数值；而极限则是指函数在某点附近的变化趋势，而与函数在该点处是否有定义或该点处的函数值没有关系。

联系是：⑴函数在点连续的充要条件是：。由此充要条件在可以判断分段函数在分段点处的连续性。

⑵函数在点连续存在。

二． 求极限的基本思路

极限的计算题中分两大类：一类是确定型的极限，它包括以下几种情况：

⒈根据初等函数的连续性； ⒉直接利用极限运算法则；

⒊利用无穷大与无穷小的关系；⒋利用无穷小与有界函数乘积为无穷小。

另一类是未定型（也称未定式）的极限，它包括：、、∞—∞、1∞型。计算未定型限的基本思路是通过恒等变形等转化为确定型的极限进行计算，或利用两个重要极限，或罗必达法则进行计算。

三．求极限的方法

一．确定型的极限

⒈利用连续函数的连续性求极限——代入法

由函数在点连续定义知，。由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区内任意点处的极限值，就是求其函数在该点处的函数值。

【例1】：求【解】∵是初等函数，在其定义域（全体实数）内连续∴所以用代入法求出该点的函数值就可。即=2·2＋2·2－5=3。

【例2】；求 【解】由于=在处连续，所以

⒉利用极限的四则运算法则求极限。

设= A，= B，则±=A±B； ·=A·B，特别地=C·A； 。

⒊利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”性质求极限。

利用“无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小”这一性质可以计算某些函数的极限，但在应用这一性质求极限时，要注意求解过程的写法。

【例3】求的极限 【解】当时，是无穷小，而是有界函数，因此利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小很快就会得解。于是，=0

⒋利用无穷大与无穷小的关系求极限。

无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是一个无穷小；反之，在变化过程中不为零的无穷小，其倒数为一个无穷大。

【例4】求极限

【解】因为=0。即是当时的无穷小，根据无穷大与无穷小的关系可知，它的倒数是当时的无穷大，即。

⒌分别利用左右极限求得函数极限

求分段函数在连接点处的极，要分别求左、右极限求得函数极限。它根据以下定理：。对于分段函数考察是否存在就要分别求与。

二．未定型（也称未定式）的极限

⒈可化为连续函数的函数极限

求函数极限时，有时常常会遇到，函数在点没有意义，即函数在点不连续，这时就不能直接利用代入法求函数的极限。这时要视具体情况对进行适当的恒等变形，转化为连续函数，再利用函数的连续性求出极限，该方法常用于“”型的极限。在进行变形时常用到因式分解、分子或分母“有理化”的运算以及三角函数的有关公式。其目的就是消去分母中的零因子。

【例5】求

【解】当时，，这时不能直接利用代入法求函数的极限，但对函数进行分母“有理化”的恒等变形以后，就可化为连续函数的函数极限，再用代入法求函数的极限，即：

⒉利用两个重要极限求极限

两个重要极限给出了求型、1∞型的极限的计算

⑴两个重要极限为：①②或

⑵由重要极限及替换可求下列极限：

① 若，则 ，极限过程改为其它情形也有类似的结论。

【例6】求

【解】

【例7】求

【解】

② 设，则利用重要极限有，其。

【例8】求极限

【解】=〔〕

⒊自变量趋向无穷大时有理分式求极限法则

⑴若分式中分子和分母的同次，则其极限等于分子和分母的最高次项的系数之比；

⑵若分式中分子的次数低于分母的次数，则该分式的极限是零；

⑶若分式中分子的次数高于分母的次数，则该分式的极限不存在（为无穷大）。

即当时有

⒋利用洛必达法则求未定式的极限

求型或型未定式更常用的方法是用洛必达法则。具体方法如下：

⑴设的空心邻域可导，，其中A可以是极限数也可以是。将改为或等也有相应的洛比达法则。

⑵应用上述法则是应注意：①若不存在，也不为，不能说明不存在。例如，不存在。

②必须验证应用法则的条件，必须是型或型未定式方可利用洛比达法则。例如，以下计算是错误的： 。事实=，这里不是型也不是型未定式。

③若是型或型，可连续用洛比达法则，只要符合条件，一直可用到求出极限为止。
<求极限十法 >

1、利用定义求极限。

2、利用柯西准则来求。
柯西准则：要使{xn}有极限的充要条件使任给ε>0,存在自然数N，使得当n>N时，对于
任意的自然数m有|xn-xm|<ε.

3、利用极限的运算性质及已知的极限来求。
如：lim(x+x^0.5)^0.5/(x+1)^0.5
=lim(x^0.5)(1+1/x^0.5)^0.5/(x^0.5)(1+1/x)^0.5
=1.

4、利用不等式即：夹挤定理。

5、利用变量替换求极限。
例如lim (x^1/m-1)/(x^1/n-1)
可令x=y^mn
得：＝n/m.

6、利用两个重要极限来求极限。
（1）lim sinx/x=1
x->0
(2)lim (1+1/n)^n=e
n->∞

7、利用单调有界必有极限来求。

8、利用函数连续得性质求极限。

9、用洛必达法则求，这是用得最多的。

10、用泰勒公式来求，这用得也很经常。

❸ 求极限的方法大全

1、利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）

如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。

❹ 求极限都有哪些方法

16 种求极限的方法，相信肯定对你有帮助。
1、等价无穷小的转化
只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 ,前提是必须证明拆分后极限依然存在 ,e 的 X 次方-1 或者(1+x) 的 a 次方-1 等价于 Ax 等等。全部熟记(x 趋近无穷的时候还原成无穷小
2、洛必达法
(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 )。首先他的使用有严格的使用前提!必须是 X 趋近而不是N 趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的， 不可能是负无穷 !)必须是函数的导数要存在 !(假如告诉你 g(x), 没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死 !!)必须是 0 比 0 无穷大比无穷大 !当然还要注意分母不能为 0。洛必达法则分为 3 种情况： 0 比 0 无穷比无穷时候直接用 ;0 乘以无穷， 无穷减去无穷 (应为无穷大于无穷小成倒数的关系 )所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。 通项之后这样就能变成第一种的形式了 ;0的 0 次方， 1 的无穷次方，无穷的 0 次方。对于 (指数幂数 )方程方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了， (这就是为什么只有3 种形式的原因， LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候， LNX 趋近于 0)。
3、泰勒公式
(含有 e 的 x 次方的时候 ,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意 !)E 的 x展开 sina ，展开 cosa, 展开 ln1+x, 对题目简化有很好帮助。
4、无穷大
比上无穷大面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 ,取大头原则最大项除分子分母 !!!看上去复杂 ,处理很简单 !
5、无穷小于有界函数
无穷小于有界函数的处理办法 ,面对复杂函数时候 ,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需 要知道它的范围结果就出来了!
6、夹逼定理
主要对付的是数列极限 !这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用
对付数列极限 (q 绝对值符号要小于1）
8、各项的拆分相加(对付数列极限 )
例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下,xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
9、求左右极限的方式
(对付数列极限 )例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系，已知 Xn 的极限存在的情况下,xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用
这两个很重要 !对第一个而言是 X 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值。第 2 个就如果 x 趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式 (第 2 个实际上是用于函数是 1 的无穷的形式 )(当底数是 1 的时候要特别注意可能是用地两个重要极限 )
11、趋近于无穷大
还有个方法，非常方便的方法 ,就是当趋近于无穷大时候 ,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的 !x 的 x 次方快于 x!快于指数函数， 快于幂数函数， 快于对数函数(画图也能看出速率的快慢 )!!当 x 趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法
换元法是一种技巧 ,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、四则运算
假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、数列极限
还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0 到 1 的形式。
15、单调有界
单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性!
16、导数的定义
直接使用求导数的定义来求极限， (一般都是 x 趋近于 0 时候，在分子上 f(x 加减某个值 )加减 f(x) 的形式 ,看见了要特别注意 )(当题目中告诉你 F(0)=0 时候 f(0) 导数=0 的时候，就是暗示你一定要用导数定义 !
【求极限的一般题型】
1、求分段函数的极限，当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了 !当 X 趋近无穷时候存在 e 的 x 次方的时候，就要分情况讨论应为E的x 次方的函数正负无穷的结果是不一样的
2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞?说白了，就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉!
解决办法：1、求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了，这不是很容易么?但是有 2 个问题要注意 !
问题 1：积分函数能否求导 ?题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误!!!
问题 2：被积分函数中既含有 t 又含有 x 的情况下如何解决?
解决 1 的方法：就是方法 2 微分中值定理 !微分中值定理是函数与积分的联系!更重要的是他能去掉积分符号!
解决 2 的方法：当 x 与 t 的函数是相互乘的关系的话， 把 x 看做常数提出来， 再求导数 !!当 x 与 t 是除的关系或者是加减的关系,就要换元了 !(换元的时候积分上下限也要变化 !)
3、求的是数列极限的问题时候 :夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候, 就考虑 x 趋近的时候函数值 ,数列极限也满足这个极限的 ,当所求的极限是递推数列的时候 :首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理。判断单调性不能用导数定义!数列是离散的 ,只能用前后项的比较 (前后项相除相减 )，数列极限是否有界可以使用归纳法最后对 xn 与 xn+1 两边同时求极限 ,就能出结果!
4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题。解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。因为例如 : 当 x 趋近 0 时候 f(x) 比 x=3 的函数 ,分子必须是无穷小，否则极限为无穷，还有洛必达法则的应用 ,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则 ,可以消掉某些未知数，求其他的未知数。

❺ 极限的计算有什么方法

1.直接代入法，2.消因子法，3.有理化分子法，4.乘积变比值法，5.
乘幂
变比值法，6.
罗比
塔法，
7.不等式夹逼法，8.无穷小代换法，9.
泰勒级数
法，10.其他特殊方法。

❻ 求极限的所有方法，要求详细点

基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

拓展资料

极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数（为0得到极大值）以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想象，因此可以忽略不计。

❼ 求极限共有哪几种方法

解答:
基本方法有:
(1)、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
(2)、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
(3)、运用两个特别极限；
(4)、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小
比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。
(5)、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
(6)、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是
值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
(7)、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
(8)、特殊情况下，化为积分计算。
(9)、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。
楼上的回答中有很多误导，没有办法，这是普遍被误导的结果。

❽ 函数极限公式汇总有哪些

极限公式：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x(x→0)

6、tanx~x(x→0)

7、arcsinx~x(x→0)

8、arctanx~x(x→0)

9、1-cosx~1/2x^2(x→0)

10、a^x-1~xlna(x→0)

11、e^x-1~x(x→0)

12、ln(1+x)~x(x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx(x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx(x→0)

15、loga(1+x)~x/lna(x→0)

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

❾ 极限的几种求法

极限的求法有很多中：
1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值
2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
3、利用无穷大与无穷小的关系求极限
4、利用无穷小的性质求极限
5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算
6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限
7、利用两个重要极限公式求极限
8、利用左、右极限求极限，（常是针对求在一个间断点处的极限值）
9、洛必达法则求极限
其中，最常用的方法是洛必达法则，等价无穷小代换，两个重要极限公式。
在做题时，如果是分子或分母的一个因子部分，如果在某一过程中，可以得出一个不为0的常数值时，我们常用数值直接代替，进行化简。另外，也可以用等价无穷小代换进行化简，化简之后再考虑用洛必达法则。