多元函数的极限与连续计算方法

⑴ 多元函数的连续和极限题

这类题在许多《数学分析》和《高等数学》教材了都有，不是作为例题就是习题。
该题在这里写起来很麻烦的，你自己翻翻书，依样画葫芦就行。

⑵ 多元函数的极限求法有几种

多元函数的极限求法有十种，分别为：

1、利用极限四则运算性质或者函数连续性求极限

2、利用恒等变形求极限，主要是消去分母中极限为零的因子（分子分母有理化）

3、利用等价无穷小求极限

4、利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量求极限

5、利用夹逼准则

6、利用两个重要极限

7、利用极坐标法

8、利用取对数法

9、运用洛必达法则求二元函数的极限

10、利用二元函数极限定义求二元函数极限

(2)多元函数的极限与连续计算方法扩展阅读：

夹逼准则

夹逼定理是有关函数极限的定理。它指出若有两个函数在某点的极限相同，且有第三个函数的值在这两个函数之间，则第三个函数在该点的极限也相同。

定义为如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件：当n＞N0时，其中N0∈N*，有Yn≤Xn≤Zn，{Yn}、{Zn}有相同的极限a，设-∞<a<+∞,则数列{Xn}的极限存在，且当 n→+∞，limXn =a。

洛必达法则求多元函数极限的应用条件

在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。

如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。

参考资料来源：网络-多元函数

⑶ 多元函数在某点极限存在与连续的关系

如果极限存在，并且与极限点的函数值相等，则在给点连续，否则就不连续。

细分有连续有三条;

1. 极限存在

2. 在该点有定义

3. 极限值与给点函数值相等。

   此时，函数在该点连续。

   破坏上面三条中的任何一条，都不连续。

   两者的关系：

   连续极限一定存在，极限存在不一定连续。连续是极限存在的从分条件，极限存在是连续的必要条件。

⑷ 请教多元函数的极限 可导性 连续性的问题解法 俩题~~

① 由均值不等式, -(x²+y²)/2 ≤ xy ≤ (x²+y²)/2,
故|f(x,y)| ≤ |(x²+y²)/2|/√(x²+y²) = √(x²+y²)/2 → 0, 当(x,y) → (0,0).
于是lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0).
即在原点极限存在且连续.

在原点, ∂f/∂x = lim{x → 0} (f(x,0)-f(0,0))/x = 0,
∂f/∂y = lim{y → 0} (f(0,y)-f(0,0))/x = 0, 即两个偏导数存在并得0.
但沿y = x方向的方向导数lim{x → 0} (f(x,x)-f(0,0))/√2x = 1/2 ≠ 0.
故f(x,y)在原点不是可微的.

② 当x = 0时, 有f(x,y) = 0, 故(x,y)沿x = 0趋近原点时, f(x,y) → 0.
而当x = y时, 有f(x,y) = 1, 故(x,y)沿y = x趋近原点时, f(x,y) → 1.
因此lim{(x,y) → (0,0)} f(x,y)不存在.
于是f(x,y)在原点不连续, 也不可微.

在原点, ∂f/∂x = lim{x → 0} (f(x,0)-f(0,0))/x = 0,
∂f/∂y = lim{y → 0} (f(0,y)-f(0,0))/x = 0, 即两个偏导数存在并得0.

⑸ 多元函数的极限与连续 求函数极限 第(6)不会做

令x=a, y=a 所以原函数可以看做(2a的二次方)a的4次方
令括号内为k, a的四次方为z，k和z接近无限小的时候，无限接近于1.
所以最后结果1，累啊

⑹ 二元函数的极限和连续

解：不一定。根据二元函数极限的定义知，是以任意方式趋于某个点时极限存在，则二元函数的极限存在，
若y=x^2,x趋于0，f(x,y)=A，它是以y=x^2的路径趋于（0,0）时，极限为A。但不能说明任意方式趋于（0,0）时，极限为A。

谢谢！

⑺ 多元函数和一元函数关于极限,连续,微分等概念的区别

关于这些概念的区别，应该有学生自己总结，才有助于理解，别人给的算什么？

⑻ 多元函数的极限怎么求

多元函数的极限一般是利用一元函数求极限的方法、换元或者迫敛准则等来求：

例如：

1.lim(x,y)->(0,0) sin(x²+y²) / (x²+y²) 令 u = x²+y²

= lim(u->0) sinu / u = 1

2.f(x,y) = x²y / (x²+y²)

∵ | x²y | / (x²+y²) ≤ (1/2) |x|

lim(x,y)->(0,0) |x| = 0

∴ lim(x,y)->(0,0) x²y / (x²+y²) = 0

在如图的题目中，这里都是应用偏导数的定义

记住limh趋于0[f(x+h，y)-f(x，y]/h得到的就是f'x

同理limh趋于0[f(x，y+h)-f(x，y]/h得到的就是f'y

显然这里就是-2f'x=6以及1/3f'y=2/3

(8)多元函数的极限与连续计算方法扩展阅读：

求多元函数的注意事项：

1. 二元函数的极限成一元函数的极限，即将二重极限化成累次极限，在很多情况下方便求极限（但是有个限制条件，必须是二重极限和累次极限都存在的情况下才能这么做）

2.在某些情况下直接计算二重极限比较方便，例如lim(x→0,y→1)[(x^2+3x)/xy]=lim(x→0,y→0)[(x+3)/y]=3 。这个可以在最后一步时将x,y的极限值直接代入

3.二重极限化累次极限是有限定条件的，不满足条件则不能化成累次极限。

⑼ 高等数学 简单的多元函数极限 问题:求f(x,y)在哪些点是连续的

这个是连续问题，如何定义连续的，就是
左极限=右极限=f（这个点有意义）的值，但是多元函数是要求四面八方向这个点的极限都相等，且这个点的函数值相等于这个极限。

⑽ 多元函数的极限与连续 求极限