㈠ 對於方程f(x)=0求根的迭代法,如何理解和分析其收斂性
f(x)=0求根的迭代法有很多種。比較容易判斷的收斂性的是二分法，比較難以判斷的是牛頓法。還有許多改進的方法，都是為了盡快得到一個收斂的結果。但收斂性的分析除了簡單的，不一定適用的外，真能解決實際問題的不是根據數學上是否能證明其收斂，而是根據其計算結果是否滿足自然條件下的一些約束。
「
Most numerical root-finding methods use iteration, procing a sequence of numbers that hopefully converge towards the root as a limit. They require one or more initial guesses of the root as starting values, then each iteration of the algorithm proces a successively more accurate approximation to the root. Since the iteration must be stopped at some point these methods proce an approximation to the root, not an exact solution. Many methods compute subsequent values by evaluating an auxiliary function on the preceding values. The limit is thus a fixed point of the auxiliary function, which is chosen for having the roots of the original equation as fixed points, and for converging rapidly to these fixed points.
The behaviour of general root-finding algorithms is studied in numerical analysis. However, for polynomials, root-finding study belongs generally to computer algebra, since algebraic properties of polynomials are fundamental for the most efficient algorithms. The efficiency of an algorithm may depend dramatically on the characteristics of the given functions. For example, many algorithms use the derivative of the input function, while others work on every continuous function. In general, numerical algorithms are not guaranteed to find all the roots of a function, so failing to find a root does not prove that there is no root. However, for polynomials, there are specific algorithms that use algebraic properties for certifying that no root is missed, and locating the roots in separate intervals (or disks for complex roots) that are small enough to ensure the convergence of numerical methods (typically Newton's method) to the unique root so located.」
㈡ 如何判斷雅各比迭代法，高斯賽德爾迭代法是否收斂
高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一種修正。兩者的收斂速度在不同條件下不同，不能直接比較，即使在同樣條件下，有可能對於同樣的系數矩陣出現一種方法收斂，一種方法發散。
計算譜半徑，普半徑小於1，則收斂，否則不收斂。其中譜半徑就是迭代矩陣J或者G的最大特徵值。
也可用列范數或行范數判斷,列范數或者行范數小於1，則收斂。但范數大於1時，不能說明其發散，還要通過計算譜半徑來確定其收斂性。
在數值線性代數中是用於求解線性方程組的迭代方法。 它以德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和菲利普·路德維希·馮·塞德爾（Philipp Ludwig von Seidel）命名，與雅可比方法相似。
雖然它可以應用於對角線上具有非零元素的任何矩陣，但只能在矩陣是對角線主導的或對稱的和正定的情況下，保證收斂。
㈢ 迭代矩陣收斂定理
按上節方法，將A分解成A＝D－L－U，則G－S迭代法計算公式（5－2）可寫成
x（k＋1）＝D－1（Lx（k＋1）＋Ux（k））＋D－1b
或
地球物理數據處理基礎
其中，S＝（D－L）－1U稱為G－S迭代法的迭代矩陣，f＝（D－L）－1b。
上節例題中G－S迭代法的迭代矩陣S為
地球物理數據處理基礎
下面給出判斷G－S迭代法收斂的兩個定理：
★定理三：若方程組系數矩陣A為按行或列對角占優，則其G－S迭代法收斂。
★定理四：若方程組系數矩陣A為正定矩陣，則其G－S迭代法收斂。
㈣ 如何判斷雅各比迭代法、高斯賽德爾迭代法是否收斂
計算譜半徑，譜半徑小於1，則收斂，否則不收斂。其中譜半徑就是迭代矩陣J或者G的最大特徵值!!望採納！！不懂再問！也可用列范數或行范數判斷,列范數或者行范數小於1，則收斂。但范數大於1時，不能說明其發散，還要通過計算譜半徑來確定其收斂性。
㈤ 數值分析迭代法中怎麼判斷是線性收斂
局部收斂性有如下定理
設已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各階導數存在且連續).
若 f'(a) != 0(單重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 總收斂到 a,且收斂速度至少是二階的.
若 f'(a) == 0(多重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,收斂速度是一階的.
記 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某個鄰域"可由 |g'(x)|
㈥ 數值計算中，迭代法怎麼和收斂性扯上關系了
這和生活中類似啊。比如你要想去北京，可以走路，速度慢，可以坐汽車，速度能快些，可以坐飛機，速度最快。你可以考慮選擇哪一種方式。
迭代法也是這樣，要考慮收斂性和收斂速度問題。收斂性就是你能不能到北京的問題，萬一你坐了一趟到南京的列車，那不是越走越遠了？收斂速度就是走的快慢問題，有的迭代法收斂快，有的就慢些。
這些肯定要進行研究的，要給別人提供理論上的收斂性和收斂速度的依據，使得以後的人用起來可以有所選擇。
㈦ 怎樣判斷 雅克布迭代法 和 高斯-賽德爾 是否收斂
有好幾種方法，最簡單的是直接看給的迭代公式中的B矩陣的譜半徑，如果小於1，那麼兩種方法都收斂。（或者嚴格對角占優？好像有這一條，忘記了）
然後就是第二種方法，算雅克比迭代格式的迭代矩陣BJ的譜半徑，如果小於1，那麼雅克比迭代法收斂，高斯賽德爾方法不一定收斂。
第三種方法，算高斯賽德爾格式的迭代矩陣BG的譜半徑，如果小於1，那麼高斯賽德爾迭代法收斂，雅克比方法不一定收斂。
BJ和BG的格式參考課本吧
㈧ 迭代法的收斂速度有哪幾個衡量標准
摘要 親，您好！迭代法的收斂速度衡量標准:
㈨ 牛頓迭代法的收斂條件是什麼
一、收斂條件：
1、全局收斂性是指初值在定義域內任取時演算法是否收斂,若收斂其速度如何,收斂到哪個根.具體來說。
2、局部收斂性有如下定理
設已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各階導數存在且連續).
若 f'(a) != 0(單重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到的序列 x[n] 總收斂到 a,且收斂速度至少是二階的.
若 f'(a) == 0(多重零點),則初值取在 a 的某個鄰域內時,收斂速度是一階的.
記 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某個鄰域"可由 |g'(x)|
二、牛頓迭代法的簡單介紹：
牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x）的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根，此時線性收斂，但是可通過一些方法變成超線性收斂。另外該方法廣泛用於計算機編程中。
㈩ 怎麼判斷不同迭代格式的收斂性和收斂速度
對各個迭代式求導，代入附近的猜測值（此處代入1.5），看起倒數的絕對值是否小於1，小於1則收斂，大於則發散。倒數值越小收斂速度越快。
設已知 f(x) = 0 有根 a，f(x) 充分光滑(各階導數存在且連續)
若 f'(a) != 0(單重零點)，則初值取在a的某個鄰域內時，迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])得到的序列 x[n] 總收斂到a，且收斂速度至少是二階的。
若 f'(a) == 0(多重零點)，則初值取在a的某個鄰域內時，收斂速度是一階的。
(10)計算方法迭代法怎麼判斷收斂區間擴展閱讀：
迭代法的主要研究課題是對所論問題構造收斂的迭代格式，分析它們的收斂速度及收斂范圍。迭代法的收斂性定理可分成下列三類：
①局部收斂性定理：假設問題解存在，斷定當初始近似與解充分接近時迭代法收斂；
②半局部收斂性定理：在不假定解存在的情況下，根據迭代法在初始近似處滿足的條件，斷定迭代法收斂於問題的解；
③大范圍收斂性定理：在不假定初始近似與解充分接近的條件下，斷定迭代法收斂於問題的解。
迭代法在線性和非線性方程組求解，最優化計算及特徵值計算等問題中被廣泛應用。