向心加速度推導的方法有哪些

Ⅰ 高中物理向心加速度怎麼推導

如圖甲，一質點繞O點做勻速圓周運動，A點到B點的切線，即線速度Va和Vb，其大小相等。則向心加速度a就是由Vb到Va線速度的單位變化矢量。方法：如圖乙，平移矢量Va，使其起點與B點重合，則矢量△V=矢量Vb－矢量Va（即轉過某一弧度時線速度的改變數），設矢量Va與Vb的夾角θ就是質點做勻速圓周運動所轉過的角（用弧度製表示）。
又如圖丁（圓O的一部分，即扇形，OQ=OP=r，同時有弦PQ和弧PQ），設θ為OQ與OP夾角的弧度數（其實是數學上這個角對應的弧長與圓半徑的比值，即弧PQ ：半徑r的值，如一弧度≈57.3°）那麼我們知道 X·Y/X=Y，則弧PQ的長度可以表示為「半徑r·弧PQ/半徑r」即弧長=半徑×對應弧度。 當夾角θ很小很小時，可近似認為弧PQ=弦PQ，也就是說彎曲的弧長與筆直的線段長度幾乎一樣，這就為後面的求△V提供了依據。
回到圖乙，如圖當OB,OA之間的夾角（等於Vb與Va的夾角）很小很小時，那麼對應的△V就很小很小了，並且以B為頂點，母線長為Va（或Vb）的扇形中由A點到B點所掃過的弧△V就可近似等於弦△V，即根據圖丁作介紹的，若把圖丁中的半徑r看做線速度Va（或Vb），弧長=半徑×對應弧度（也就是先前的V=ω·r）用在圖乙中就是弧△V=△V=線速度（視為半徑r）×弧度θ（弧△V與可視為圓半徑r的線速度Va或Vb的比值） 而當△V這個量小到單位時（即一秒鍾內△V的量），那麼這個△V就是我們所說的向心加速度a，向心加速度a=△V/△t，而弧△V=弦△V，所以向心加速度a=弧△V/△t。
首先弧度θ是質點經過某一時間（△t）做圓周運動所轉過的角度的弧度數，則角速度ω=θ/△t，表示一秒鍾內轉過的弧度數，即弧度θ=ω·△t，① 並且△V=弧△V=向心加速度a×△t。② 再根據弧長=半徑×對應弧度，弧△V=△V=線速度V×弧度θ（如圖丙，當θ小到一定程度時，弧△V=△V，小到單位弧度時就存在這樣的關系）再根據①②兩式，得出向心加速度a×△t=線速度V（這個矢量的大小始終不變）×角速度ω·△t，同時除去等式左右的△t，於是最終化簡為： 向心加速度a=線速度V×角速度ω，即a(n)=ω·V，還有a(n)=ω2·r，a(n)=V2/r等等 都是根據此式以及V=ω·r推理出來的。

Ⅱ 向心加速度公式誰最先推導出來是怎麼推導的

方法一：（課本上的方法）利用加速度的定義推導（又稱矢量合成法）：
向左轉|向右轉
如上圖所示：設小球在很短的時間t內從a運動到b，在時間t內速度變化為△v，
因為△oab∽△bdc（可自己證一下），所以有：△v/v=ab/r
當t→0時，ab=弧ab
所以：v=弧ab/t，a=△v/t
所以a=v²/r
補充：在矢量合成法中應用三角函數推導：
向左轉|向右轉
如上圖所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運動至b，所經時間為△t，若物體在a、b點的速率為va=vb=v，則其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四邊形法則作出其矢量圖如圖1。由餘弦定理可得：（由於公式難於表述，用圖片替代）
向左轉|向右轉
可見當θ→0時，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由於vb方向為圓周切線方向，故△v的方向指向圓心.因△v的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運動中加速度的方向指向圓心，
方法二：利用運動的合成與分解推導（簡稱運動合成法）
由於慣性,
小球有離開圓心沿切線運動的趨勢,
而細線的拉力卻拉著小球向圓心運動。這樣小球運動可分解成沿切線方向的勻速直線運動和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直線運動
向左轉|向右轉
設在很短的時間t內,
小球沿圓周從a到b，可分解為沿切線ac方向的勻速直線運動和沿ad方向初速度為零的勻加速直線運動。如圖一：
向左轉|向右轉
方法三：利用開普勒第三定律、萬有引力定律和牛頓第二定律推導向心加速度
設：質量為m的人造地球衛星以速率v在半徑為r的近圓軌道上繞地球運行，
運行周期為t，地球質量為m.
根據開普勒第三定律：t²/r³=k（k為常量）
根據萬有引力定律：f=gmm/r²
對於圓周運動的物體有：t=2πr/v
根據牛頓第二定律：a=f/m
聯立上述各式有：a=（gmk/4π²）×（v²/r）
所以：a∝v²/r
——上述三方法自己總結
方法四：曲率圓法
向左轉|向右轉
向左轉|向右轉
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方法五：類比法：
設有一位置矢量r繞o點旋轉，其矢端由a至b時發生的位移為△s（如圖）.若所經時間為△t，則在此段時間內的平均速率v=△s/△t，顯然這個速率描述的是位置矢量矢端的運動速率，當△t趨近於零時，這個平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時刻的即時速率，如果旋轉是勻角速的，則其矢端的運動也是勻速率的，易知其速率：v=2πr/t（1）
向左轉|向右轉
（1）式中t為旋轉周期.再如圖5是一物體由a至b過程中，每轉過1/8圓周，速度變化的情況。現將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位置矢量的旋轉.，而圖6則是速度矢量的旋轉，顯然加速度是速度的變化率，即
a=△v/△t
（2）
由圖6可知，這個速度變化率其實就是速度矢量矢端的旋轉速率，其旋轉半徑就是速率v的大小，故聯立（1）（2）兩式就可得出結論：a=v²/r
方向的判斷：比較圖5圖6可以看出當△t→o時△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.

Ⅲ 向心加速度的公式是怎麼推導出來的

向心加速度直觀上和直線加速度不同
直線加速度容易以直線速度的單位變化量來表示定義
而向心加速度不應將"向心"兩個字簡單理解一定做規則半徑的圓周運動而使加速度的概念被打亂

實際上如果把方向作為前綴
直線加速度就是和原速度方向相同或相反的直線方向上的速度微分和時間微分比
向心加速度就是和原速度方向垂直(這里用向心兩個字表示),此時此方向的速度微分和時間微分比
由於圓周運動不限於最初方位,故而向心加速度總是相對於新的方位和新的速度
而直線運動中新的方位在方向上保持直線,故而容易直觀理解
這是他們在理解上的不同注意點
本質上他們是一樣的,定義公式也是一樣
都是a=F/M,都是對即將改變的最新的速度方位的微分改變率

向心加速度只是臨時向著某個圓心,如果加速度變化,則圓心也會變化,運動軌跡不一定是規則圓,只是某個時刻,總是認為正在做圓周運動的微分過程而已
除非一直相對最新方位存在固定的垂直分力大小和切向速度比恆等,則向心運動恆定畫出圓圈,物體做圓周運動(是否切線加速無關)

Ⅳ 向心加速度公式是如何推出的（寫出步驟）

方法一：（課本上的方法）利用加速度的定義推導（又稱矢量合成法）：
向左轉|向右轉
如上圖所示：設小球在很短的時間t內從A運動到B,在時間t內速度變化為△v,
因為△OAB∽△BDC（可自己證一下）,所以有：△v/v=AB/R
當t→0時,AB=弧AB
所以：v=弧AB/t,a=△v/t
所以a=v²/R
補充：在矢量合成法中應用三角函數推導：
向左轉|向右轉
如上圖所示,物體自半徑為r的圓周a勻速率運動至b,所經時間為△t,若物體在a、b點的速率為va=vb=v,則其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va）,由平行四邊形法則作出其矢量圖如圖1.由餘弦定理可得：（由於公式難於表述,用圖片替代）
向左轉|向右轉
可見當θ→0時,α=90°,即△v的方向和vb垂直,由於vb方向為圓周切線方向,故△v的方向指向圓心.因△v的方向即為加速度的方向,可見勻速圓周運動中加速度的方向指向圓心,
方法二：利用運動的合成與分解推導（簡稱運動合成法）
由於慣性,小球有離開圓心沿切線運動的趨勢,而細線的拉力卻拉著小球向圓心運動.這樣小球運動可分解成沿切線方向的勻速直線運動和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直線運動
向左轉|向右轉
設在很短的時間t內,小球沿圓周從A到B,可分解為沿切線AC方向的勻速直線運動和沿AD方向初速度為零的勻加速直線運動.如圖一：
向左轉|向右轉
方法三：利用開普勒第三定律、萬有引力定律和牛頓第二定律推導向心加速度
設：質量為m的人造地球衛星以速率v在半徑為r的近圓軌道上繞地球運行,運行周期為T,地球質量為M.
根據開普勒第三定律：T²/r³=k（k為常量）
根據萬有引力定律：F=GMm/r²
對於圓周運動的物體有：T=2πr/v
根據牛頓第二定律：a=F/m
聯立上述各式有：a=（GMk/4π²）×（v²/r）
所以：a∝v²/r
——上述三方法自己總結
方法四：曲率圓法
向左轉|向右轉
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——來自網路貼吧
方法五：類比法：
設有一位置矢量r繞o點旋轉,其矢端由a至b時發生的位移為△s（如圖）.若所經時間為△t,則在此段時間內的平均速率v=△s/△t,顯然這個速率描述的是位置矢量矢端的運動速率,當△t趨近於零時,這個平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時刻的即時速率,如果旋轉是勻角速的,則其矢端的運動也是勻速率的,易知其速率：v=2πR/T（1）
向左轉|向右轉
（1）式中t為旋轉周期.再如圖5是一物體由a至b過程中,每轉過1/8圓周,速度變化的情況.現將其速度平移至圖6中,容易看出圖6和圖5相類似,所不同的是圖5表示的是位置矢量的旋轉.,而圖6則是速度矢量的旋轉,顯然加速度是速度的變化率,即
a=△v/△t （2）
由圖6可知,這個速度變化率其實就是速度矢量矢端的旋轉速率,其旋轉半徑就是速率v的大小,故聯立（1）（2）兩式就可得出結論：a=v²/r
方向的判斷：比較圖5圖6可以看出當△t→o時△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.

Ⅳ 向心加速度公式推導是什麼

向心加速度公式推導是設做勻速圓周運動的物體的線速度的大小為v ，軌跡半徑為r。經過時間△t，物體從A點運動到B點。嘗試用v 、r 寫出向心加速度的表達式。

設小球在很小的時間t內，從A運動到B，在時間t內，速度變化為△v。因為：△OAB∽△BDC，所以：△v/v=AB/R，當t→0時,AB=弧AB=vt，所以△v/vt=v，a=△v/t，所以：a=v²/R。

向心加速度性質

向心加速度是矢量，並且它的方向無時無刻不在改變且指向圓心。所有做曲線運動的物體都有向心加速度，向心加速度反映的是圓周運動在半徑方向上的速度方向(即徑向即時速度方向·)改變的快慢。向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲線的法線方向的加速度。

當物體的速度大小也發生變化時，還有沿軌跡切線方向也有加速度，叫做切向加速度，向心加速度的方向始終與速度方向垂直，也就是說線速度始終沿曲線切線方向。學生對變速直線運動記憶猶新，尤對該運動中「加速度總導致速度大小的改變」印象更為深刻。

他們立足於已有的知識和經驗來看待勻速圓周運動的加速度，於是難免以老框框套新問題，這種思維定勢的負遷移作用，使他們的思維限制在已有的運動模式之中而忽視了問題的不同本質。

Ⅵ 物體的向心加速度的公式怎麼推導

1
矢量合成法
如圖1所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運動至b，所經時間為△t，若物體在a、b點的速率為va=vb=v，則其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四邊形法則作出其矢量圖如圖1。由餘弦定理可得

可見當θ→0時，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由於vb方向為圓周切線方向，故△v的方向指向圓心.因△v的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運動中加速度的方向指向圓心，
。.
.
2
運動合成法
眾所周知，物體作圓周運動的條件一是受到一個指向圓心的向心力的作用.另一是有一個初速度.可以設想，若沒有初速度則物體將向著圓心方向作勻加速運動.若沒有向心力，則物體將沿初速度方向作勻速運動.可見圓周運動應當是沿圓心方向的勻加速直線運動和沿初速度方向的勻速運動的合運動.如圖2所示，物體自a至b的運動，可看成先由a以速度v勻速運動至c，再由c以加速度α勻加速運動至b，由圖可知
當△t→o時ac方向的運動可以忽略.故物體只有指向圓心方向的加速度α.
3
位移合成法
如圖3所示，設物體自a點經△t沿圓周運動至b，其位移ab可看成是切向位移s1和法向位移s2的矢量和.由以上分析可知，其法向運動為勻加速
由圖知：△acb∽△adb，故有ac∶ab=ab∶ad，
4
類比法
設有一位置矢量r繞o點旋轉，其矢端由a至b時發生的位移為△s（如圖4）.若所經時間為△t，則在此段時間內的平均速率
顯然這個速率描述的是位置矢量矢端的運動速率，當△t趨近於零時，這個平均速率就表示位置矢量的矢端在某一時刻的即時速率，如果旋轉是勻角速的，則其矢端的運動也是勻速率的，易知其速率
（1）式中t為旋轉周期.再如圖5是一物體由a至b過程中，每轉過1/8圓周，速度變化的情況。現將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位置矢量的旋轉.，而圖6則是速度矢量的旋轉，顯然加速度是速度的變化率，即
由圖6可知，這個速度變化率其實就是
端的旋轉速率，其旋轉半徑就是速率v的大小，故有
比較圖5圖6可以看出當△t→o時△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.

Ⅶ 向心加速度的表達式是怎麼推導出來的

設速度為V，半徑為R在一個極小的時間T里，轉過角度a為VT/R，這個角度很小，所以sina=a；然後對這個時間末的速度分解，法向速度為Vsina，這個是速度在法向的增量，在除以這個T 就是加速度了

Ⅷ 向心加速度表達式的推導過程

現設一質點以R為半徑作勻速圓周運動，質點的線速度為V，周期為T，角速度為ω。

當質點運動一周時，周角為2π，是間為T，由定義有：

ω＝2π/T

因為線速度又等於周長與周期比值

∵V＝L/T=2πR/T＝ωR

∴V=ωR…………………………（1）

如圖甲，質點在時間差Δt內從a點運動到b點，則它的速度變化量為ΔV，

如圖乙。速度變化的角等於圓心角θ。

在Va、Vb、ΔV組成的小三角形成中，

把它補成小扇形。在數學上有弧長等於半徑與圓心角的積。

當θ足夠小時，則可以認為弧長等於弦長。

這時ΔV相當扇形的弦，Va＝Vb＝V相當於半徑

所以有

ΔV＝θV……………………………………（2）

因為圓心角等於角速度與時間的積

θ=ωΔt……………………………………（3）

由（1）、（2）、（3）可得

a=ΔV/Δt=θV/Δt=θωR/Δt＝ωΔtωR/Δt＝ω2R

即a=ω2R

還可以推出

a＝ω2R＝ωRω＝ωV=(V/R)V=V2/R

即a=ωV＝ω2R＝V2/R

(8)向心加速度推導的方法有哪些擴展閱讀

向心加速度是矢量，並且它的方向無時無刻不在改變且指向圓心（曲率中心）。

所有做曲線運動的物體都有向心加速度，向心加速度反映的是圓周運動在半徑方向上的速度方向(即徑向即時速度方向·)改變的快慢。

向心加速度又叫法向加速度，意思是指向曲線的法線方向的加速度。

當物體的速度大小也發生變化時，還有沿軌跡切線方向也有加速度，叫做切向加速度。

向心加速度的方向始終與速度方向垂直，也就是說線速度始終沿曲線切線方向。

Ⅸ 向心加速度的公式是怎麼推導出來的

勻速圓周運動中速度的大小不變，而方向不斷變化。加速度的效果就是不斷改變這個方向。切向不需要力，如果切向有力，那速度不光方向變，大小也要變。
那個公式嚴謹的推導需要微積分知識。我可以給你一個簡單的你能理解的推導。
一個速度v繞半徑r的元周轉。在很小很小一段時間t里。這個速度在圓周上轉過的角度是vt/r。
那這個速度的改變數是多少呢？速度大小不變，方向轉動過一個很小的角度vt/r，可以近似得出速度的變化量為速度v乘這個角度，即vvt/r。由a=v/t
得出a=vv/r