認積方程的解決方法

1. 數學家們是怎麼認識方程的

方程（equation）是指含有未知數的等式。是表示兩個數學式（如兩個數、函數、量、運算）之間相等關系的一種等式，使等式成立的未知數的值稱為「解」或「根」。求方程的解的過程稱為「解方程」。
通過方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多種形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，還可組成方程組求解多個未知數。
在數學中，一個方程是一個包含一個或多個變數的等式的語句。 求解等式包括確定變數的哪些值使得等式成立。 變數也稱為未知數，並且滿足相等性的未知數的值稱為等式的解。
早在3600年前，古埃及人寫在草紙上的數學問題中，就涉及了方程中含有未知數的等式。  
公元825年左右，中亞細亞的數學家阿爾·花拉子米曾寫過一本名叫《對消與還原》的書，重點討論方程的解法。
​方程中文一詞出自古代數學專著《九章算術》，其第八卷即名「方程」。「方」意為並列，「程」意為用算籌表示豎式。
在定義中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如1+1=2，100×100=10000，都是等式，顯然等式的范圍大一點。

2. 一元二次方程的詳細解法

解一元二次方程
知識點：

一元二次方程和線性方程是整式方程，它是初中數學內容的一個重點，但也是今後學習數學的基地的基礎上，應該引起學生的注意。 2 />一個二次方程式的一般形式：AX2（2 X-平方數）+ BX + = D（A≠0），它僅包含一個未知的，數量最多的未知數

整式方程。

求解一元二次方程的基本思路是「停機時間」分為兩個線性方程。一元二次方程四個解決方案：1，開平方法2與方法3，公式法，因式分解法。

二，簡潔的方法例如：

1，開平直接的方法：

直接開平方法解一元二次方程的平方根是直接使用。直接狀如喜解決方案（XM）2 = N（N≥0）

方程為x =±

例1的解決方案。求解方程組（1）（3×1）2 = 7（2）9X2-24倍16 =
分析：（1）這個方程是明顯的直接開平方法好做，（2）的左方面的方程是完全平坦的方法（3×4）= 11> 0時，在右側，那麼

這個方程也可以用直接開平方法解。

（1）方案：（3X +1）= 7×

∴（3X +1）2 = 5

∴的3x +1 =±（注意不要把解決方案）<BR / ∴X =

∴原方程X1 = X2 =

（2）解決方案：9X2-24X +16 = 11

∴（3-4）2 = 11

∴3 -4 =±

∴X =

的∴原方程X1 = X2 =

2。 ：解決方法方程組Ax 2 + BX + C = 0（≠0）

第一常數c等式的右邊：AX + BX-C

二次項系數1：X2 + X = -

兩側，分別與方程系數半方：X2 + X +（）2 = - +（）2

方程的左邊成為一個完美的正方形： （+）2 =

當B2-4AC≥0，X + =±

∴X =（求根公式）

例2。的方法解方程3X2-4-2 = 0

解決方案：移動到右邊的方程3X2-4X = 2

二次項系數常數項：X2-X =
兩側的方程和系數的一半面積的2倍-+（）= +（）2 />式：（x）的2 =直接平方根的x =±∴X =

∴原方程X1 = X2 =

3。公式法：化成二次方程的一般形式，然後計算判別式△= B2-4AC價值，當B2-4AC≥0，每

系數a，B，C的值代入根調查的公式=（B2-4AC≥0），可以是方程的根。

案件3。公式法解方程的2x2-8X = -5

解決方法：進入一般形式的方程：2X2-8X +5 = 0

∴= 2，B = -8，C = 5
>β2-4ac時=（-8）2-4×2×5 = 64-40 = 24> 0

∴= [（-B±（二^ 2-4ac時）^（1/2）/ （2 *）

的∴原方程對於x1 = 2倍= />分解法：方程變形側為零，另一側的第二個不同的產品分解成兩個因子的形式/>兩個一旦因子等於零，兩個兩個一次性方程獲取根，原方程一個/>根此解決方案的一個二次方程式被稱為分解法的線性方程組的解。

例4的分解方法來解決公式如下：

（1）（X +3）（X-6）= -8（2）2×2 +3 X = 0

（ 3）6X2 +5 X-50 = 0（選擇），（4）X2-2（+）×4 = 0（選擇學校）

（1）解決方案：（X + 3）（- 6）= -8簡單的精加工

的2倍到3倍-10 = 0（方程左側的第二個三，右零）

（5）第（x +2）= 0（方程因子分解的左側）

∴-5 = 0或x 2 = 0（為兩個線性方程）

∴X1 = 5 2 = -2的溶液中

原方程（2）的解決方案：2×2 3 = 0 ×（2×3）= 0（提公共方程的系數的方法分解因子的左側）

∴ X = 0或2x +3 = 0（分為兩個線性方程）

∴X1 = 0，X2 = - 是解決原方程

註：有些學生對這個問題容易失去x = 0的該溶液中，應該記住的二次方程有兩種解決方案。

（3）的解決方案：6×2 5 X-50 = 0

（2×5）（3×10）= 0（交叉乘以分解，要特別注意的符號不出差錯）

∴2X-5 = 0或3x +10 = 0

∴X1 = X2 = - 是原方程的解決方案。 />（4）溶液的2倍-2（+）×4 = 0（∵可以被分解成2·2，∴此標題因子分解法）

（2）（- 2）= 0 ∴X1 = 2，X2 = 2是解決原方程

總結：

一般解決方案的二次，或分解方法在應用程序中最常用的方法時，分解方法，船舶必須寫在方程船舶

形式，而二次項系數為正數。

開平直接的方法是最基本的方式

公式法和方法的完成公式法的最重要途徑是一元二次方程的（有人稱之為普遍規律），使用公式

法律，必須採取原方程為一般形式，以確定的系數，計算公式應該在前面的價值判別

以確定方程解。「

配方法是推導公式的工具，主公式法後可以直接使用公式法求解一元二次方程，它是一般的方法

求解一元二次方程，但與方法，具有廣泛的應用在其他數學知識的學習，初中需掌握三個重要的數學方面 BR />法律，我們必須掌握三個重要的數學方法替代方法，待定系數法。

5例。解下列方程，使用適當的方法（可選） />（1）4（2）2-9（3）2 = 0（2）X +（2 - ）×+ -3 = 0 >（3）的2倍，2× = - （4）4MX 4X2-10X + M2 +5 M +6 = 0

分析：（1）第一個主題應該觀察是否特點，不盲目先做乘法觀察發現，左>（3方面的方程可以是平方差/>式分解成兩個，由於不同的產品。

（2）可以使用十字相乘法分解的等式的左側。方程4×2-2（3219米5）的變形）到公式法的一般形式的解。

（4）X +（2米）（米3）= 0，則可以是使用十字相乘法分解。

（1）解決方案：第（x +2）2-9（X-3）2 [2（X +2）+3（X = 0

-3 ）] [2（2）-3（3）] = 0

（5×5）（-13）= 0

5倍-5 = 0或-13 = 0∴X1 = 1，χ2= 13 <br解決方案（2）：2 +（2 - ）×+ -3 = 0

[ - （-3）]（- 1）= 0

-（-3）= 0或x-1 = 0

∴X1 = -3，2倍= 1

（3）溶液的2倍-2 = -

X2-2 X + = 0（成一般形式）

△=（-2）2-4 = 12-8 = 4> 0

∴X =
>∴X1，X2 =

（4）解決方案：4X2-4MX-10X + M2 +5 M +6 = 0

4X2-2（3219米+5）+（M +2）（米3）[2倍（米2）] [2倍（米3）] = 0 /> 2倍（米2）= 0或2x-（米3）= 0 = 0 BR />∴X1 = X2 =

例6方程3（X +1）2 +5（X +1）（X-4）+2（X-4）2 = 0兩個（選擇）

：如果你做的第一和復舊，乘法，這個方程的一般形式合並同類項將更加復雜，仔細觀察的主體，我

發現，如果在x + 1 X-4，分別作為一個整體，然後在左邊的方程可以被用於交叉相位乘法因子分解（實際使用

）溶液：3（ X +1）2（4）] [（1）+（4）] = 0 />（5×5）（2×3）= 0

∴5（的x 1）∴-1 = 0或2x - 3 = 0，（2×3）= 0 （1）（2×3）= 0

∴X1 = 1，2倍=原來的方程是解決。

相對於x的一個二次方程式的求解方法與例7中的2倍+ + Q = 0

溶液：X2 +像素像素+ q = 0時，可以變形為/>的2倍+像素=-q（無的右手側的方程的常數項）

的2倍+像素+（2）=-Q +（2） （方程的系數的一半的平方）

（+）=（公式）

當P2-4q的≥0，≥0（P2 4q的必須分類討論的兩側）

∴X = - + =

∴X1 = X2 =

當P2-4Q <0，<0原方程沒有實根。

說明：字母系數方程，P，Q標題不附帶任何條件，因此，解決問題的過程中的問題，應該注意字母

值？要求，必須分類討論。

做法：

（a）是適當的方式來解決以下公式：

6X2-X-2 = 0 2（5）（X-5）= 3

3。X2-X = 0 4 X2-4X +4 = 0

5。為3x2 + 1 = 2×（2 +3）2 +5（2 +3）-6 = 0

（二）解決了以下的x方程

1.x2-AX + B2 = 0 2。X2-（+）AX + A2 = 0

做法。參考答案：

（一）1.x1 = - X2 = 2.x1 = 2，X2 = -2

3.x1 = 0，X2 = 4.x1 = X2 = 2 5.x1 = X2 =

6。解決方案：（2X +3整體而言，方程因子分解的左側）

[（2×3）6] [（2×3）-1] = 0

（2×9）（2×2）= 0

∴2個+9 = 0或2x +2 = 0 ∴X1 = - ，X2 = -1是原方程的解決方案。

（二）1。解決方案：2倍斧+（+）（ - ）= 0的解決方案：-（+）斧+一·一= 0

[（+）] [-（二）] = 0（ XA）（XA）= 0

∴-（+）= 0或x-（ - ）= 0× - 一= 0或XA = 0 ∴，X1 = X2 =-B是∴X1 = 2 = a是原方程

原方程的解。

測試

多項選擇題

方程×（X-5）= 5 （X-5）根（多項式A2 +4 A-）

A X = 5 B，X = -5°C，X1 = X2 = 5 D，X1 = X2 = -5

2。 10值等於11，則值（） A，B，C 3 -3或7或-7，-3，-7

如果一元二次方程AX2 + BX + C = 0在第二系數，系數和常數項為零，則方程一定是

根（）。

A，B，1 C，-1 D±1
> 4。二次方程ax 2 + BX + C = 0有一個根是零（）。

A，B≠0和c = 0，B，B = 0和c≠0

C B = 0，C = 0 D C = 0

5。方程X2-3X = 10兩個根（）

A -2,5 B，2，-5℃，2,5，-2 ，-5

6。方程x2-3X +3 = 0解（）。

A，B，C，D，有沒有真正的根

7方程2X2-0.15 = 0解決方案（）

A X =寬x = -

C，X1 = 0.27，X2 = -0.27 D，X1 = X2 = -

8。方程X2-X-4 = 0左邊配成完全平方式，所得到的方程是（）。

A（X-）= B（X）2 = - C，（）2 = D，沒有

已知一元二次方程X2-2X-M = 0，解方程公式方程（）的方法。

A，（X-1）2 = M2 +1上述答案B，（X-1）2 = m-1的C，（X-1）2 = 1-M D（X-1）2 = m +1個

答案解析

回答：1 。2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：BR /> 1：移：（X-5）= 0，則X1的= X2 = 5，/>附註：方程兩側不容易劃分由鄭氏的二次方程必須有兩個實根。

分析：從問題是：A2 +溶液是4-10 = 11 = 3或= -7。

分析：為每個問題：一個+ b的+ c的= 0時，等式左側的一個+ B + C，且具只當x = 1，AX2 + BX + C = A + B + C，這意味著，當x = 1

等式成立，必須鏟除X = 1

4：一元二次方程式AX2 + BX + = 0，如果根為零，/>斧2 + bx + c的存在一個因子x，只有c = 0時，有一個共同的x的除數，使C = 0。 BR />此外，您也可以取代x = 0處取得C = 0，更簡單！分析：原方程變為X2-3X-10 = 0，

（5 ）第（x +2）= 0

X-5 = 0或x + 2 = 0

X1 = 5，X2 = -2。

6：Δ= 9-4×3。 = -3 <0時，原方程沒有實根。

7。：2×2 = 0.15

X2 =

=±

請注意，徹底簡化，並支付注意直接的平方根，不要失去了根。

8。：兩邊乘以3：X2-3X-12 = 0，然後按照系數公式X2-3X +（ - ）2 = 12 + （ - ）2，

整理為：（ - ）2，=

方程的可以用公式變形性質，X2-BX配方，配方的產品為第一系數的一半的平方-B

9。分析：X2-2X = M，那麼X2-2X +1 =（M +1）

（X-1）= M +1。

測試解決

考試評論

1（河南）由於XA二次方程的根 - 2，那麼K = __________

評論：K = 4到x = -2代入原方程是構造一個二次方程K，然後解決。

2（西安的直接開平市），解方程的方法（X-3）2 = 8是方程的根（）

（ A）X = 3 +2（B）X = 3-2

（C）X1 = 3 +2，X2 = 3-2（D）X1 = 3 +2，X2 = 3-2
a>評論：解方程的方法可以直接解決，或者不計算使用一元二次方程的解決方案，那麼就必須有兩個解決方案和8平方米

根，你可以選擇一個答案。

課外的一元二次方程，一元二次方程擴張

（一元二次方程的一個變數）是含有最高長期是一個未知的未知

整式方程。一般形式

AX2 + BX + C = 0中，（a≠0）

大約在公元前第二個千年，一元二次方程，其解決方案已經出現在了古巴比倫人擋泥板儀器：找到一個數字使

倒數的數量等於一，得到X，這樣

= 1 X + = b的，/>的2倍-BX 1 = 0，

（2）;使然後得出答案：+ - 可見巴比倫人已經知道二次的

方程求根公式，但他們不接受否定，所以負根不提。

埃及紙莎草紙文書還涉及最簡單的一元二次方程，例如：AX2 = B。

公元前4,5世紀，中國已經掌握了一元二次方程的求根公式希臘丟番圖（246 - 330），但只有採取積極的二次方程根，即使在面對兩個正根的情況下，他只是其中之一。

公元628年，來自印度的婆羅摩笈多書面婆羅洲山校正系統，二次方程x2 + PX + Q = 0根公式中的「代數」阿拉伯的Al花拉子米方程的解，並討論解決二次方程式，其中涉及到六種不同的形式，訂購，B，C為正數，如鋁AX2 = BX，AX2 = C，AX2 + C = BX，斧頭2 + BX = C，AX2 = bx + c的，依此類推。二次方程分為不同形式的討論，按照不定實踐的。花拉子米除了給定的一元二次方程，一些特殊的解決方案，第一
二次方程的一般解，認識到方程有兩個根，無理根存在，但她並沒有虛根了解16世紀義大利數學家誰知道三次方程應用到復雜的根。

3. 解一元一次方程的方法有3種

一元二次方程的解法

一、知識要點：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基

礎，應引起同學們的重視。

一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一個未知數，並且未知數的最高次數是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通過「降次」將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解

法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例題精講：

1、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解為x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以

此方程也可用直接開平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項系數化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項系數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=

當b2-4ac≥0時，x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項系數化為1：x2-x=

方程兩邊都加上一次項系數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項

系數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解為x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓

兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結：

一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般

形式，同時應使二次項系數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式

法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方

法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。

例5．用適當的方法解下列方程。(選學）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差

公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。

（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

（3）化成一般形式後利用公式法解。

（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。

說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母

取值的要求，必要時進行分類討論。

練習：

（一）用適當的方法解下列方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列關於x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

練習參考答案：

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

測試

選擇題

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項系數，一次項系數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、無實根

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不對

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案與解析

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：

1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,

注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。

2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1

時，方程成立，則必有根為x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，

則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.

另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！

5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0,

則(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。

7．分析：2x2=0.15

x2=

x=±

注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。

8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項系數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理為：(x-)2=

方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項系數-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1

則(x-1)2=m+1.

中考解析

考題評析

1．（甘肅省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確

選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是只考慮了一方面忘記了一元

二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為

C。

另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（遼寧省）方程的根為（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、

B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。

評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。

5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方

根，即可選出答案。

課外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二

次的整式方程。 一般形式為

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它

的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次

方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。

希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中

之一。

公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公

式。

在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種

不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次

給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的

數學家們為了解三次方程而開始應用復數根。

韋達（1540-1603）除已知一元方程在復數范圍內恆有解外，還給出根與系數的關系。

我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學

家還在方程的研究中應用了內插法。

4. 如何利用方程思想來解決問題

如果說數學起源於人類生存的需要，或者起源於人類理智探索真理的需要，那麼數學思想方法就是伴隨著數學的產生而產生，伴隨著數學的發展而發展的，它不僅是數學的精髓，也是數學教學的靈魂，更是體現數學本質的重要方面和評價數學教學的主要依據。因此，在小學數學教學過程中，加強數學思想方法的滲透，會有利於教師深刻地認識數學內容，有利於增強學生的數學觀念和數學意識，形成學生良好的思維品質。下面從教學過程的角度關注數學思想方法，來交流自己一些不成熟、不全面的認識和看法。
1.在知識的呈現過程中，適時滲透數學思想方法
對於數學而言，知識的發生過程，實際上也就是思想方法的發生過程。因此，象概念的形成過程、結論的推導過程、方法的思考過程、問題的發現過程、規律的被揭示過程等等，都蘊含著向學生滲透數學思想方法、訓練思維的極好機會。對於學生來說，最常見的困難之源是：一項工作、一個發現、一個規律、……很少以創始人當初所用的形式出現，它們已經被濃縮了，隱去了曲折、復雜的思維過程，呈現出整理加工的嚴密、抽象、精煉的結論，而導致其誕生的那些思想方法卻往往隱為內在形式，成為數學結構系統的具有潛在價值的「內河流」。我們教學工作的一項重要任務，就是揭開數學這種嚴謹、抽象的面紗，將發現過程中的活生生的教學「反樸歸真」地交給學生，讓學生親自參與「知識再發現」的過程，經歷探索過程的磨礪，汲取更多的思維營養。例如，在教學圓的面積時，先引導學生回憶以往在推導平行四邊形、三角形、梯形等圖形面積計算時的方法，再把圓轉化成長方形，進而推導出圓的面積計算公式。我們從方法人手，將待解決的問題，通過某種途徑進行轉化，歸納成已解決或易解決的問題，最終使原問題得到解決。這樣的教學活動讓學生經歷了知識的形成過程，滲透了化歸、極限的數學思想，為後繼學習起到了非常重要的作用。
2.在解題思路的探索中，恰當滲透數學思想方法
課堂教學中，學生是學習的主人。在學習過程中，要引導學生積極主動地參與，親自去發現問題、解決問題、掌握方法，其實，對於數學思想方法的學習也不例外，在數學教學中，解題思路的探索過程是最基本的活動形式之一，數學問題的解答過程是對數學思想方法親身體驗和獲得的過程，也是通過運用對其加深認識和理解的過程。例如，在解決「雞兔同籠」問題時，學生初讀題目，有些無從下手。這時就需要教師引導學生用容易探究的小數量代替《孫子算經》原題中的大數量讓學生探究整理，滲透了轉化的思想方法；用列表法解決問題，滲透了函數的思想方法；用算術法解決問題，滲透了假設的思想方法；用方程法解決問題，滲透了代數的思想方法；在梳理方法時，利用課件出示簡筆畫，幫助學生理解各種演算法等，滲透了數形結合的思想方法，這樣將數學思想方法的滲透和知識教學緊密地結合，幫助學生掌握正確的解題方法，提高發散思維能力。
3.在實際問題的解決中，靈活滲透數學思想方法
解題是數學的心臟，學生不僅通過解題掌握和鞏固數學基礎知識，而且由於數學解題重在解題的整個過程，所以還能培養和發展學生的數學能力，而教師應對學生的解題活動加以指導，不能為了解題而解題，而忽視對思維過程的展示，要在解題過程中揭示後續解題活動中解決類似問題的通用思想方法。因此，加強數學應用意識，鼓勵學生運用數學思想方法去分析解決生活實際問題，引導學生抽象、概括、建立數學模型，探求問題解決的方法，使學生把實際問題抽象成數學問題，在應用數學知識解決實際問題的過程中進一步滲透和領悟數學思想方法。例如，客車和貨車同時從甲、乙兩鎮的中點向相反的方向行駛。3小時後客車到達甲鎮，而貨車離乙鎮還有30千米。已知貨車的速度是客車的3／4，求甲、乙兩鎮相距多少千米?分析：由題意知，客車3小時行完全程一半，貨車3小時行完全程的一半少30千米。如設甲乙兩鎮相距z千米，依據「貨車的速度是客車的3／4」，可得方程：多數學生都選用了這種方法。教學時不能停留在此，繼續引導學生變換一種方式思考：將已知條件「貨車的速度是客車的3／4」改變一種敘述方式「貨車與客車的速度比是3：4」，因行車時間相同，所以貨車與客車所行路程比是3：4，即貨車行3份，客車行了4份，貨車比客車少行1份少行30千米，因此易知客車行了4份行了120千米，貨車行了90千米，甲乙兩鎮相距240千米。這樣，通過轉化，使學生體會到分數應用題也可採用整數解法，即可採用比例應用題的方法進行解答，從而鞏固與提高學生解答分數應用題的能力，更重要的是讓學生感受到轉化的方法能變繁為簡、化難為易，有助於培養思維的靈活性，克服思維的呆板性。實際上，在數學解題中經常用到的還有諸如數形結合、化歸、符號化等思想方法，恰當運用這些思想方法不僅能提高解題效率，還能激發學生強烈的求知慾與創造精神。
總之，在教學過程中，加強數學思想方法的滲透，在知識的呈現過程中，讓學生感知數學

5. 我對方程的認識

我對方程的認識
「哎，在五年級的下學期其中最讓我頭痛的是數學的方程了，方程有兩種。、 一種也就是我最不會的列方程了就是讓你看著題目在看看相關的數字和詞語等等，可是我就丈二和尚——摸不著頭腦。有時候數學老師生氣的話就會用死神一般的眼神盯著你然後就大聲說：「你上課到底在課堂上干什麼呀!我再說一遍。」要麼就是老師講的太快了。我根本就沒有聽到老師就講完了。

第二種，就是既要解決問題也要列方程。這就更難了。加上我又不會解方程。就會偶然的瞎貓碰到死老鼠碰對的要麼就是老師苦口婆心的和我說我才會略懂一二。
其實老師講的是對的的只要上課聽了的話就一定不會錯的方程就和語文是一樣的只要用心的去讀就可以了。
這就是我的方程的理解.

6. 初一年級一元一次方程解的方法。

含字母系數的一元一次方程

教育重點和難點

重點：含有字母系數的一元一次方程和解法.

難點：字母系數的條件的運用和公式變形.

教學過程設計

一、導入新課

問：什麼叫方程?什麼叫一元一次方程?

答：含有未知數的等式叫做方程，含有一個未知數，並且未知數的次數是1的方程叫做一元一次方程.

例 解方程2x－1 3－10x+1 6=2x+1 4－1

解 去分母，方程兩邊都乘以12，得

4(2x－1)－2(10x+1)=3(2x+1)－12,

去括弧，得

8x－4－20x－2=6x+3-12

移項，得

8x－20x－6x=3-12+4+2，

合並同類項，得

－18x=－3，

方程兩邊都除以－18，得

x=3 18 ,即 x=1 6.

二、新課

1.含字母系數的一元一次方程的解法.

我們把一元一次方程用一般的形式表示為

ax=b (a≠0),

其中x表示未知數，a和b是用字母表示的已知數，對未知數x來說，字母a是x的系數，叫做字母系數，字母b是常數項.

如果一元一次方程中的系數用字母來表示，那麼這個方程就叫做含有字母系數的一元一

次方程.

以後如果沒有特別說明，在含有字母系數的方程中，一般用a，b，c等表示已知數，用x，y，z等表示未知數.

含字母系數的一元一次方程的解法與只含有數字系數的一元一次方程的解法相同.按照解

一元一次方程的步驟，最後轉化為ax=b(a≠0)的形式.這里應注意的是，用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等於零.如(m－2)x=3,必須當m－2≠0時，即m≠2時，才有x=3 m－2 .這是含有字母系數的方程和只含有數字系數的方程的重要區別.

例1 解方程ax+b2=bx+a2(a≠b).

分析：這個方程中的字母a，b都是已知數，x是未知數，是一個含有字母系數的一元一次方程.這里給出的條件a≠b，是使方程有解的關鍵，在解方程的過程中要運用這個條件.

解 移項，得

ax－bx=a2－b2,

合並同類項，得

(a－b)x=a2－b2.

因為a≠b，所以a－b≠0.方程兩邊都除以a－b，得

x=a2－b2 a－b=(a+b)(a－b) a－b,

所以 x=a+b.

指出：

(1)題中給出a≠b，在解方程過程中，保證了用不等於零的式子a－b去除方程的兩邊後所得的方程的解是原方程的解；

(2)如果方程的解是分式形式時，一般要化成最簡分式或整式.

例2 x－b a=2－x－a b(a+b≠0).

觀察方程結構的特點，請說出解方程的思路.

答：這個方程中含有分式，可先去分母，把方程轉化成含有字母系數的一元一次方程

的一般形式.在方程變形中，要應用已知條件a+b≠0.

解 去分母，方程兩邊都乘以ab得

b(x－b)=2ab－a(x－a),

去括弧，得

bx－b2=2ab－ax+a2,

移項，得

ax+bx=a2+2ab+b2

合並同類項，得

(a+b)x=(a+b)2.

因為a+b≠0，所以x=a+b.

指出：ab≠0是一個隱含條件，這是因為字母a，b分別是方程中的兩個分式的分母，因此a≠0,b≠0,所以ab≠0.

例3 解關於x的方程

a2+(x－1)ax+3a=6x+2(a≠2,a≠－3).

解 把方程變形為，得

a2x－a2+ax+3a=6x+2,

移項，合並同類項，得

a2x+ax－6x=a2－3a+2,

(a2+a－6)x=a2－3a+2,

(a+3)(a－2)x=(a－1)(a－2).

因為a≠2,a=－3，所以a+3≠0，a－2≠0.方程兩邊都除以(a+3)(a－2)，得

x=a－1 a+3.

2.公式變形.

在物理課中我們學習了很多物理公式，如果q表示燃燒值，m表示燃料的質量，那麼完全燃燒這些燃料產生的熱量W，三者之間的關系為W=qm，又如，用Q表示通過異體橫截面的電量，用t表示時間，用I表示通過導體電流的大小，三者之間的關系為I=Qt.在這個公式中，如果用I和t來表示Q，也就是已知I和t，求Q，就得到Q=It；如果用I和Q來表示t，也就是已知I和Q，，求t，就得到t=QI.

像上面這樣，把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形.

把公式中的某一個字母作為未知量，其它的字母作為已知量，求未知量，就是解含字母

系數數的方程.也就是說，公式變形實際就是解含有字母系數的方程.公式變形不但在數學，而且在物理和化學等學科中非常重要，我們要熟練掌握公式變形的技能.

例4 在公式υ=υo+at中，已知υ,υo,a，且a≠0，求t.

分析：已知υ，υo和a，求t，也就是把υ，υo和a作為已知量，解關於未知量t的字母系數的方程.

解 移項，得

υ－υ0=at.

因為a≠0，方程兩邊都除以a,得

t=υ－υo a.

例5 在梯形面積公式s=12(a+b)h中，已知a，b，h為正數.

(1)用s，a，b表示h；(2)用S,b,h表示a.

問：(1)和(2)中哪些是已知量?哪些是未知量；

答：（1）中S，a，b是已知量，h是未知量;(2)中s，b，h都是知已量，a是未知量.

解 (1)方程兩邊都乘以2，得

2s=(a+b)h.

因為a與b都是正數，所以a≠0，b≠0，即a+b≠0，方程兩邊都除以a+b，得

h=2sa+b.

(2)方程兩邊都乘以2，得

2s=(a+b)h,

整理，得

ah=2s－bh.

因為h為正數，所以h≠0，方程兩邊都除以h,得

a=2s－bh h.

指出：題是解關於h的方程，(a+b)可看作是未知量h的系數，在運算中(a+b)h不要展開.

三、課堂練習

1.解下列關於x的方程：

(1)3a+4x=7x－5b; (2)xa－b=xb－a(a≠b)；

(3)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2);

(4)ab+xa=xb－ba(a≠b);

(5)a2x+2=a(x+2)(a≠0,a≠1).

2.填空：

(1)已知y=rx+b r≠0,則x=_______;

(2)已知F=ma,a≠0，則m=_________;

(3)已知ax+by=c，a≠0，則x=_______.

3.以下公式中的字母都不等於零.

(1)求出公式m=pn+2中的n;

(2)已知xa+1b=1m，求x；

(3)在公式S=a+b2h中，求a;

(4)在公式S=υot+12t2x中，求x.

答案：

1.(1)x=3a+5b 3； (2)x=ab; (3)x=mn m+n; (4)x=a2+b2 a－b (5)x=2a.

2.(1)x=y－b r； (2)m=Fa; (3)x=c－by a.

3.(1)n=p－2m m; (2)x=ab－am bm; (3)a=2s－bh h;

(4)x=2s－2υott2.

四、小結

1.含字母系數的一元一次方程與只含有數字系數的一元一次方程的解法相同，但應特別注意，用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊時，這個式子的值不能為零.我們所舉的例題及課堂練習的題目中所給出的條件，都保證了這一點.

2.對於公式變形，首先要弄清公式中哪些是已知量，哪個是未知量.把已知量作為字

母系數，求未知量的過程就是解關於字母系數的方程的過程.

五、作業

1．解下列關於x的方程

(1)(m2+n2)x=m2－n2+2mnx(m－n≠0)；

(2)(x－a)2－(x－b)2=2a2－2b2 (a－b≠0);

(3)x+xm=m(m≠－1);

(4)xb+b=xa+a(a≠b);

(5)m+nx m+n=a+bx a+b(mb≠na).

2.在公式M=D－d 2l中，所有的字母都不等於零.

(1)已知M,l ,d求D； (2)已知M,l D,求d.

3.在公式S=12n[a1+(n－1)d]中，所有的字母都是正數，而且n為大於1的整數，求d.

答案：

1.(1)x=m+n m－n; (2)x=－a+b 2; (3)x=m2 m+1; (4)x=ab; (5)x=1.

2.(1)D=2lM+d; (2)d=D－2lM.

3.d=2S－na1 n(n－1).

課堂數學設計說明

1.學生對含有字母系數的方程的認識和解法以及公式變形，接受起來有一定困難.含字

母系數的方程與只含數字系數的方程的關系，是一般與特殊的關系，當含有字母系數的方程

中的字母給出特定的數字時，就是只含數字系數的方程.所以在教學設計中是從復習解只含

數字系數的一元一次方程入手，過渡到討論含字母系數的一元一次方程的解法和公式變形，

體現了遵循學生從具體到抽象，從特殊到一般的思維方式和認識事物的規律.

2.在代數教學中應注意滲透推理因素.在解含有字母系數的一元一次方程和公式變形的過程中，引導學生注意所給題中的已知條件是什麼，在方程變形中要正確運用題中的已知條件.如在解方程中，常用含有字母的式子乘(或除)方程的兩邊，並要論述如何根據已知條件，保證這個式子的值不等於零，從中有意識地訓練和提高學生的邏輯推理能力，把代數運算和推理蜜切結合.

7. 如何讓學生用方程解決問題 草之夢

一、了解方程重要性
在講課前先要讓學生明白方程在學生生活、社會生產中有著廣泛的應用，是小學數學中重要的基礎知識之一。了解方程所要學習的內容和要解決的問題，就必須讓學生明確教學目標。
1、知道用字母表示數和用方程表示數量關系的優越性，會用字母和含未知數的式子表示數和常見的數量關系。
2、認識等式和方程，理解等式的性質和方程的解法。初步學會根據字母的取值求含有字母的式子的值，比較熟練地解答含有一個或兩個未知數的方程。
3、研究簡單的情景關系和數形聯系，明確含字母的式子、等量及等量關系的意義。建構含字母的式子、等式和方程的數學模型，探究等式的特性和方程的特點。
4、感受用字母表示數和構建方程在生活中的應用價值，強化應用意識，培養分析能力和歸納概括能力。
5、學會按時間發生的基本順序進行數量關系的提取和思維模型的加工，將生活事理關系與數學邏輯思維有機地結合。
6、用方程的基本思想解決簡單的實際問題。
二、學會建立方程模型
方程思想在現實中是普遍的，但卻難以直接與學生的生活聯系起來，因為人們習慣於運用已知條件構建數學模型。而方程思想不是從局部入手思考問題的，而是從宏觀角度把整個事件的存在因素綜合考慮的，找出各因素之間存在的等量關系，構建數學模型，但有些數學問題數量關系復雜，學生一時不易找出隱含的等量關面引導學生尋找等量關系：
1、訓練找等量關系的能力，可以從數量關系比較簡單的問題開始，再過渡到關系較復雜的問題，可以組織找等量關系的專項練習。
例如：（1）、小明x歲，爸爸比他大28歲，爸爸40歲,列式x+28=40。
（2）、小紅身高152厘米，小麗比她矮8厘米，小麗身高y厘米,列式152-8=y。
（3）、郵遞員叔叔小李每天投報a份，30天共投報600份，列式30a=600。
（4）、一盒糖b顆，一共分給25個小朋友，每人3顆，列式b÷25=3。等量關系可以選擇用各種運算。
一般來說，含有除法的等量關系式，較之含有乘法的等量關系式無論在列方程還是在解方程等各方面都要麻煩些。所以，我們一般選擇含有乘法的等量關系式。
2、代數式法：在正確分析題意的基礎上，將題目中的數量及各種數量之間的關系，用代數式依次表示出來，再根據各代數式之間的內在聯系，找出等量關系，列出方程。此法多用於工程問題、按比例分配問題、數字問題、社會熱點問題等。
例：一件工程，由甲乙兩隊完成，若單隊單獨干5小時方可完成；若乙隊單獨干需2.5小時就能幹完。
（1）如果甲乙兩隊合作，多長時間幹完這件工程？
（2）如果甲隊先干2小時，剩下的再由乙隊來干，那麼還需要多長時間才能幹完？
分析： 此題中 : 甲隊的工作效率是1 / 5；乙隊的工作效率是 1/2.5 ；第（1）問若設兩隊同時干X時能把這池水抽完，那麼甲完成的工作量是 X/5 ；乙完成的工作量是 X/2.5 ； 等量關系是：甲完成的工作量＋ 乙完成的工作量＝1 ；第（2）問若設乙隊再開X時才能抽完，那麼甲完成的工作量是 2/5 ；乙完成的工作量是X/2.5 ；等量關系是:甲完成的工作量＋ 乙完成的工作量=1（由這道題我們可以體會出，只要熟記工作效率、工作時間、工作量之間的等量關系，然後根據題目的表述，把各部分工作量用代數式表示出來，找到各部分工作量與總工作量之間的等量關系列出方程即可。一般等量關系為：各部分工作量之和等於總工作量）
3、圖示法：對於一些直觀的問題（如行程問題）可將題目中的條件以及它們之間的關系，用簡明的示意圖表示出來。這樣便於分析，然後根據圖示中的有關數量的內在聯系，列出方程。例如常用線段表示距離，箭頭表示前進方向等，此法多用於行程問題、勞動力調配問題、面積、體積問題等。
例：小麗和小紅每天早晨堅持跑步，小紅每秒跑4米，小麗每秒跑6米。
(1)如果他們從100米跑道的兩端相向跑，那麼幾秒後兩人相遇?
(2)如果小麗站在百米跑道起跑處，小紅站在她前面10米處，兩人同時同向起跑，幾秒後小麗追上小紅?
分析問題：
（1）找出題目中的已知量、未知量？
（2）題目中有何等量關系？你是怎樣表示的？
（1）小麗所跑的路程+小紅所跑的路程＝100米。
設經過x秒後兩人相遇，則可畫得線段圖為:
小麗所跑的路程 小紅所跑的路程

100米
（2）小麗所跑的路程-小紅所跑的路程＝10米設x秒後小麗追上小紅，則可畫得線段圖為
小麗所跑的路程

10米 小紅所跑的路程
解：(1)設經過x秒後兩人相遇，則小麗跑的路程為6x米，小紅跑的路程為4x米，由此可得方程
6x+4x=100。
解得 x=10。
答：經過10秒後兩人相遇。
(2)設x秒後小麗追上小紅，則小麗跑的路程為6x米，小紅跑的路程為4x米，由此可得方程
6x-4x=10。
解得 x=5。
答：經過5秒鍾後小麗追上小紅。
由這道題我們可以看出，在審題過程中，如果能把文字語言變成圖形語言――線段圖，即可使問題更加直觀，等量關系更加清晰。我們只要設出未知數，並用代數式表示出來，便可得到方程。）
以上三種分析方法，在教學時要由淺入深、由易到難、先單一後綜合的引導，，通過具體題目，教給學生具體的分析方法，增強學生主動思考的意識，提高學生觀察問題，藉助於圖表分析問題的能力，通過訓練，使學生做到具體問題具體分析，並能靈活應用
三、形成方程思想
從學生的課堂表現看：他們非常專注和投入。在「這些不同情景中的問題都有一個共同的特點，想一想是什麼？」「仔細想想解方程和我們平時講的四則運算，有什麼不同？」等，在這些有力度的問題的挑戰下，學生的思維被真正激活了，他們調動起已有的經驗，在課堂上觀察、思考、比較、抽象，課堂時而熱鬧，時而安靜，呈現出動靜相間的美妙圖景。因為是經過自身的努力使問題獲得了解決，學生臉上洋溢著成功的喜悅。
從課後的訪談看：學生非常喜歡上這樣的課。用他們的話說：「這節課時間過得真快！」「在這節課上，我就是想開小差都沒有機會，雖然課本我早預習了，但是沒想到裡面卻有那麼多的知識，所以很想弄明白，就不去想其他的事了！」……。
從練習反饋的情況看：正確率很高。學生對方程的含義和解方程的簡單方法已經很清晰，學生顯得輕松，有的復雜問題也可以自己獨立解決。
如何通過「以學定教」實現「以教促學」 是「教」與「學」的永恆話題，是我們應為之不懈努力的理想狀態！
總之，在方程的教學中應通過多種途徑培養學生建模思想，啟發、引導學生從題意中尋找等量關系，提高學生分析問題和解決問題的能力和化實際問題為數學問題以及初步的建構數學模型的能力，形成良好的學習方式，促進學生創造性思維的發展，使每一位學生都能學到有價值的數學，使不同的學生在數學上得到不同的進步。

8. 怎麼能讓小學生明白解方程求快啊！

用記憶的方法解方程，就記移項，從左移到右，或從右移到左，都可變成相反的運算符號，如加變減，乘變除。能計算的先計算再移項，本著先移一級運算（加減）再移二級運算（乘除）。小學生基本就夠用了。
從理解上的角度，要與天平平衡原理結合在一起，等號兩邊同時加或減去一個相同的數，等式依然成立。等號兩邊同時乘或除以一個不為0的數，等式依然成立。也本著如果一邊能計算就先計算的原則。

9. 解方程有幾種方法如何才能輕松求解

在我們學習的生涯中，其實很多人對於數學都是非常恐懼的，尤其是對於大部分的女生來說，她們在學習數學這方面就感覺到沒有天賦，而且學起來是非常吃力的。因此他們就會經常對數學上面的問題產生很大的困惑，所以有些人就會產生這樣的疑問，就是解方程有幾種方法呢？如何才能輕松求解？對這個問題的回答，在我個人看來，比如說有公式法，十字相乘法配方法，以及因數分解法等，我們要根據方程的具體形式來確定，下面我們具體來了解一下。

所以我們在平時的生活中，也應該要更多的去關注這方面的問題，對於每個人而言，了解這方面的問題都我們都是有一定的好處的，而且現在如果我們學會更多的求職方向的方法的話，那麼我們在今後遇到什麼數學難題的話，他可以給我們帶來很大的幫助。以上就是我總結的一些對於這一問題的認識。