平面向量常用计算方法

‘壹’ 平面向量怎么算

平面向量的计算一般有两种方法，一种是直接利用几何关系，在一种是利用坐标关系。利用几何关系 AB+BC=AC （这里用粗体字表示向量）在坐标系中我们设A、B、C坐标为别是(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)这样得到AB=(x2-x1,y2-y1)，BC=(x3-x2,y3,-y2)，AC=(x3-x1,y3-y1)这样AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3,-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC因此两种算法是统一的。在数学中，利用坐标解决向量问题更普遍。这样，利用向量就建立了几何和代数之间的关系，提供了一种利用代数解决几何问题的方法。另外，向量和复数之间也是有一一对应关系的比如一个复数z=a+bi，（这里i表示虚数单位满足i�0�5=-1），这样z就对应着一个向量z=(a,b)，因此利用复数的计算也可以进行向量计算。利用复数计算向量的好处就是，对于向量的旋转问题有比较简单的算法。根据欧拉公式复数z可以化成z=re^θ，其中r是z的模，θ是相角，也就是向量z和x轴正方向的夹角。若是把向量z逆时针转45°角度，得到的向量就可以直接表示为re^(θ-π/4)，比利用向量的夹角公式要简便许多。

‘贰’ 平面向量基本公式是什么

平面向量基本知识
一、向量知识：
（1）叫做向量。
（2）向量的运算：
运算定义或法则运算性质（运算律）坐标运算
加法
减法
实数与向量的积
数量积
几何意义：
（3）平面向量的基本定理：
如果和是同一平面内的两个不共线的向量，那么
。
（4）两个向量平行和垂直的充要条件：
；
‖；
（5）夹角、模、距离等计算：
夹角：与的夹角
模：|＋|＝|－|＝
|＋＋|＝
模||＝两点距离公式：|PP|＝向量||=
计算：求与＝(a，b)共线的单位向量
（6）线段的定比分点坐标公式：
设，且，则
时，得中点坐标公式：可推出三角形重心坐标公式：
（7）平移公式
点按平移到，则
点点P(a,b)点
曲线y＝曲线y＝f(x)曲线y＝
二、解斜三角形
（1）正弦定理：==
（2）余弦定理：
（3）S＝＝＝
（4）解三角形的几种类型及步骤：
①已知两角一边：先用→再用。
②已知两边及夹角：先用→再用。
③已知两边及一边对角：先用（注意：解；内角和）
→再用。
④已知三边：先用→再用。
（5）解应用问题的一般步骤：①→②→③→④

‘叁’ 求全部的平面向量的计算公式

9.平面向量

(1)平面向量基本定理，如果e1、e2是同一平面内非共线向量，那么该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.

①两个向量平行的充要条件

a∥b⇔a＝λb

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

a∥b＝x1x2－y1y2＝0

②两个非零向量垂直的充要条件

a⊥b⇔a·b＝0

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)

a⊥b＝x1x2＋y1y2＝0

θ＝〈a，b〉.

cosθ＝x1x2＋y1y2/x21＋y21

x22＋y22

(2)数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉＝θ

①a·e＝e·a＝|a|cosθ；②当a，b同向时，a·b＝|a||b|，特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔a·b＝0；④非零向量a，b夹角θ的计算公式：cosθ＝，当θ为锐角时，a·b＞0，且ab不同向，a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且ab不反向，a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件；⑤|a·b|≤|a||b|.

‘肆’ 数学中关于平面向量的计算方法有哪些

平面向量主要注意加减两种计算方式，弄清楚加法跟减法的计算法则，做题的时候把图给画出来，这样可以很快的做出题目。画图是很重要的一个计算步骤，没画图，很多东西我们都“看”不到，只有把图画出来，我们才可以更快的看出里面的玄机

‘伍’ 平面向量的运算公式

设a=（x，y）
b=(x'，y')

1、向量的加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则

AB+BC=AC

a+b=(x+x'，y+y')

a+0=0+a=a

向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量
那么a=-b
b=-a
a+b=0
0的反向量为0

AB-AC=CB
即“共同起点，指向被减”

a=(x,y)
b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y')

4、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量
记作λa
且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣

当λ＞0时
λa与a同方向

当λ＜0时
λa与a反方向

当λ=0时
λa=0，方向任意

当a=0时
对于任意实数λ
都有λa=0

注：按定义知
如果λa=0
那么λ=0或a=0

实数λ叫做向量a的系数
乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩

当∣λ∣＞1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍

当∣λ∣＜1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍

数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa

数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb

数乘向量的消去律：①
如果实数λ≠0且λa=λb
那么a=b
②
如果a≠0且λa=μa
那么λ=μ

3、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a
b
作OA=a
OB=b
则角AOB称作向量a和向量b的夹角
记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量
记作a•b
若a、b不共线
则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉
若a、b共线
则a•b=+-∣a∣∣b∣

向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'

向量的数量积的运算律

a•b=b•a（交换律）

(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)

（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）

向量的数量积的性质

a•a=|a|的平方

a⊥b
〈=〉a•b=0

|a•b|≤|a|•|b|

向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律
即：(a•b)•c≠a•(b•c)
例如：(a•b)^2≠a^2•b^2

2、向量的数量积不满足消去律
即：由
a•b=a•c
(a≠0)
推不出
b=c

3、|a•b|≠|a|•|b|

4、由
|a|=|b|
推不出
a=b或a=-b

4、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量
记作a×b
若a、b不共线
则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉
a×b的方向是：垂直于a和b
且a、b和a×b按这个次序构成右手系
若a、b共线
则a×b=0

向量的向量积性质

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积

a×a=0

a‖b〈=〉a×b=0

向量的向量积运算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

（a+b）×c=a×c+b×c

注：向量没有除法
“向量AB/向量CD”是没有意义的

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

①
当且仅当a、b反向时
左边取等号

②
当且仅当a、b同向时
右边取等号

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣

①
当且仅当a、b同向时
左边取等号

②
当且仅当a、b反向时
右边取等号

定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）

设P1、P2是直线上的两点
P是l上不同于P1、P2的任意一点
则存在一个实数
λ
使
向量P1P=λ•向量PP2
λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比

若P1（x1,y1)
P2(x2,y2)
P(x,y)
则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)
（定比分点向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)

y=(y1+λy2)/(1+λ)（定比分点坐标公式）

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

三点共线定理

若OC=λOA
+μOB
且λ+μ=1
则A、B、C三点共线

三角形重心判断式

在△ABC中
若GA
+GB
+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ
使a=λb

a//b的重要条件是
xy'-x'y=0

零向量0平行于任何向量
[编辑本段]向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是
a•b=0

a⊥b的充要条件是
xx'+yy'=0

零向量0垂直于任何向量

‘陆’ 平面向量的运算是什么

向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。

注意：

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。

现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

‘柒’ 平面向量的所有公式

1、加法

向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

2、减法

AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。

3、数乘

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。

4、数量积

已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

5、向量积

向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b，向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作<a,b>。已知两个非零向量a、b，那么a×b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a×b|。

6、混合积

给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c。

(7)平面向量常用计算方法扩展阅读

物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。它始于莱布尼兹的位置几何。

现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。

‘捌’ 平面向量的所有公式

向量同数量一样，也可以进行运算。向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。

下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

加法

已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。

四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。

对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。

减法

AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。

-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。

数乘

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)

设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(－λ)a=－(λa) = λ(－a)

|λa|=|λ||a|

数量积

已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2

‘玖’ 平面向量基本公式是什么

平面向量基本知识
一、向量知识：
（1）
叫做向量。
（2）向量的运算：
运算
定义
或
法则
运算性质（运算律）
坐标运算
加
法
减
法
实数与向量的积
数量积
几何意义：
（3）平面向量的基本定理：
如果
和
是同一平面内的两个不共线的向量，那么
。
（4）两个向量平行和垂直的充要条件：
；
‖
；
（5）夹角、模、距离等计算：
夹角：
与
的夹角
模：
|
＋
|＝
|
－
|＝
|
＋
＋
|＝
模|
|＝
两点距离公式：|P
P
|＝
向量|
|=
计算：求与
＝(a，b)共线的单位向量
（6）线段的定比分点坐标公式：
设
，且
，则
时，得中点坐标公式：
可推出三角形重心坐标公式：
（7）平移公式
点
按
平移到
，则
点
点P(a,b)
点
曲线y＝
曲线y＝f(x)
曲线y＝
二、解斜三角形
（1）正弦定理：
=
=
（2）余弦定理：
（3）S
＝
＝
＝
（4）解三角形的几种类型及步骤：
①已知两角一边：
先用
→再用
。
②已知两边及夹角：先用
→再用
。
③已知两边及一边对角：先用
（注意：解；内角和）
→再用
。
④已知三边：先用
→再用
。
（5）解应用问题的一般步骤：①
→
②
→
③
→
④