配方法变换矩阵如何求

㈠ 用配方法化二次型为标准型怎么作线性变换

1、先将二次型配方，然后化简（合并同类项）。

2、使用变量替换，将向量x替换为向量y。

3、根据向量y与x之间的关系，写成变换矩阵。

4、具体，可参看下列例子：

(1)配方法变换矩阵如何求扩展阅读：

线性变换的性质：

线性空间V上的一个变换A称为线性变换，对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

A(α+β)=A（α）+A（β）

A (kα)=kA(α)

线性变换是线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。

对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。

在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。

特征：

（1）设A是V的线性变换，则A(0)=0,A(-α)=-A(α)；

（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变；

（3）线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。

注意：线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组。

㈡ 用配方法化二次型为规范型。并求所用的变换矩阵

㈢ 用配方法将二次型化为标准形并求出所用的可逆变换矩阵f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2x_1 x_2-2x_1 x_4-2x

f=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4
= (x1+x2-x4)^2+x3^2-2x2x3+2x2x4+2x3x4
= (x1+x2-x4)^2+(x3-x2+x4)^2-x2^2-x4^2+4x2x4
= (x1+x2-x4)^2+(x3-x2+x4)^2-(x2-2x4)^2+3x4^2
= y1^2+y2^2-y3^2+3y4^2

y1=x1+x2-x4
y2=x3-x2+x4
y3=x2-2x4
y4=x4
即
x4=y4
x2=y3+2y4
x3=y2+y3+y4
x1=-y3-y4

所以 C=
1 0 -1 -1
0 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 1

㈣ 化二次型f=2x1x2+2x1x3-6x2x3成标准型 并求所用的变换矩阵 请问这个怎么做

这是同济第五版线性代数,P132页例16
规范形里只有平方项,现在没有平方项,自然要想方设法构造了.可根据x1x2或x1x3或x2x3构造,用平方差公式.
只要能够出现平方项,线性变换可以任意,只要可逆就行.比如假设x1=y1+2y2,x2=y1-2y2或x1=2y1+y2,x2=2y1-y2.最后的答案不唯一.一般考试不会出现这种配方法,都是让你求正交变换,结果唯一
把线性变换写成矩阵的形式X=CY，矩阵C可逆

令 x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3
则 f = 2(y1+y2)(y1-y2)+2(y1+y2)y3-6(y1-y2)y3
= 2y1^2-4y3y1-2y2^2+8y3y2
= 2(y1-y3)^2-2y2^2-2y3^2+8y3y2
= 2(y1-y3)^2-2(y2-2y3)^2+6y3^2
= 2z1^2 -2z2^2 +6z3^2 -- 标准形
= w1^2 + w2^2 - w3^2 -- 规范型
标准形不是唯一的
规范型唯一,由正负惯性指数唯一确定(不考虑顺序)

㈤ 配方法求矩阵的标准型

x1 = y1+y2
x2 = y1-y2
x3 = y3
代入得
f = -4y1^2+4y2^2+2y1y3+2y2y3+2y1y3-2y2y3
= -4y1^2+4y2^2+4y1y3
= -4(y1-(1/2)y3)^2 + 4y2^2 + y3^2
= -4z1^2 + 4z2^2 + z3^2

答案是对的

㈥ 【线性代数】用配方法将二次型f(X1,X2,X3)=X1^2+2X3^2+2X1X3化为标准型，并写出变换矩阵

简单计算一下即可，答案如图所示

㈦ 线代，为什么配方法化二次型为标准型求出变换矩阵以后要特意写它的行列式不为零

配方法所得变换 X=CY 必须是可逆变换
所以要求矩阵C是可逆矩阵
行列式|C|≠0即表示是可逆变换

㈧ 用配方法求标准二次型时，如何求出 变换矩阵

求出标准型后，比如标准型用zi来表示，很容易得Z=CX,C是非退化的，一定可逆，直接求C的逆矩阵就好了

㈨ 用配方法将二次型 f=x1^2+2x1x2+2x2x3-4x1x3化为标准型,并求出所用的变换矩阵

f=x1^2+2x1x2+2x2x3-4x1x3
= (x1+x2-2x3)^2-x2^2-4x3^2+6x2x3
= (x1+x2-2x3)^2-(x2-3x3)^2+5x3^2
= y1^2-y2^2+5y3^2
Y=CX, C=
1 1 -2
0 1 -3
0 0 1
C^-1=
1 -1 -1
0 1 3
0 0 1
所用变换为 X=C^-1Y