A. 数理方程：波动方程
参考：
[1] 顾樵，数学物理方法.
假设：我们默认[公式]。
一、一维波动方程的通解
没有边界条件的一维波动方程一般形式为[公式]，我们来计算它的通解。
其特征方程为[公式]，于是可以进行变量替换[公式]，从而得到标准形式[公式]。积分两次后，我们得到[公式]，其中[公式]是任意函数。最后通过变量替换回来，得到[公式]。实际上，我们还得到结论[公式]的通解为[公式]。
例子1
要解Dirichlet问题[公式]，其中[公式]。
将问题转换为[公式]，进行变换[公式]，则[公式]，原问题转化为[公式]。从第一个方程中得到[公式]，设定[公式]，得到[公式]。令[公式]，得到[公式]。联立可得[公式]。为了求得[公式]的值，令[公式]，即有[公式]。将变量代回去，得到[公式]。
二、D'Alembert公式
定解问题[公式]的解即是D'Alembert公式。我们已知[公式]，接下来根据后两个条件确定[公式]即可。令[公式]，得到[公式]。对[公式]求偏导，得到[公式]（注意到[公式]都是关于一元函数的求导，所以直接使用撇是没问题的，但要记得[公式]与[公式]求偏导的区别）。令[公式]，得到[公式]。对[公式]求积分，得到[公式]，即[公式]。实际上，我们并不需要解出[公式]的确切值，只需联立[公式]即可得到[公式]和[公式]，因此有[公式]。
三、一阶PDE的特征线法
考虑一阶偏微分方程[公式]。这里[公式]不含[公式]的函数，我们可以找出一组曲线，在这些曲线上解出[公式]的值，然后合并得到整个区域上的[公式]值，这就是特征线法。
为什么要讲这个方法呢？因为下一节我们需要将二阶的PDE分解为两个一阶的进行求解，而特征线法求解一阶PDE是非常简单的。下面介绍特征线方法：
将[公式]视为[公式]的函数。我们还什么都没做。接下来，我们决定[公式]是什么样子。
记[公式]，则[公式]。由此可以看出，如果令[公式]，那么在这条线上就满足[公式]。另外，初值满足[公式]（根据特征线的具体形状而定）。这样，我们就把PDE的求解转化为了ODE。我们就把这条线[公式]称为该PDE的特征线。
例子2
要解方程[公式](其中[公式])。
容易写出特征线为[公式]，即[公式]，并可得特征线的起点[公式]。特征线上满足的ODE为[公式]，它是一个常数，因此[公式]。□
四、含一阶偏导的双曲型方程
如果方程包含一阶导数，我们可以使用类似因式分解的方法，将方程化为两个一阶PDE进行求解。回到上一节的例子：
例子4
要解方程[公式]的通解。
当[公式]时，方程变为[公式]，这时设定[公式]，则[公式]。这可以直接解得[公式]，从而得到[公式]。当[公式]时，使用类似方法，因式分解得到[公式]。令[公式]，则分解成两个一阶PDE：
接下来，使用特征线法求解，先解第一个方程，特征线为[公式]，即[公式]，反解出起点[公式]，原问题对应的ODE为[公式]。解得[公式]，从而得到[公式]。这里[公式]是任意函数。再解[公式]，特征线为[公式]，即[公式]，起点为[公式]，对应的ODE为[公式]。解得[公式]，从而得到[公式]。（因为[公式]是任意函数，所以我们写成[公式]，实际上每一步之间可能有一点变化）。
五、齐次化原理
本节我们学习如何解非齐次的波动方程[公式]。首先利用迭嘉原理，将[公式]分解为两个子问题[公式]和[公式]。显然[公式]的解加上[公式]的解（这里指的是通常的加法）就是[公式]的解。对于[公式]，我们已经有D'Alembert公式，故只需研究[公式]的求解。
定理1：齐次化原理
设[公式]是[公式]的解，则[公式]是[公式]的解。
证明：直接验证[公式]是解即可。首先，利用含参积分求导，可得[公式]。显见[公式]和[公式]，因此[公式]。再求一次导，有[公式]。最后显然有[公式]。综上，即得[公式]是[公式]的解。□
现在只需解[公式]。令[公式]，则[公式]就化为[公式]。接下来使用D'Alembert公式，得到[公式]。再代回去，即得到[公式]的解为[公式]。其积分区域是一个三角形，由过[公式]的两条斜率为[公式]的直线和[公式]轴围成。最后，我们就可以写出[公式]的解为[公式]。
例子5
要解定解问题[公式]。
写出[公式]，然后代公式即可得到[公式]。□
六、三维波动方程的球对称法
本节学习三维波动方程定解问题[公式]的求解。首先我们在没有定解条件的情况下，在一类比较特殊的情形下求[公式]的通解，我们利用球坐标系来完成这件事：令[公式]，反变换为[公式]。可以计算出[公式]在球坐标系下的Laplace为[公式]（实际上我没有计算）。于是，三维波动方程在球坐标系下转化为[公式]。假设[公式]，则方程被化简为（即在一个球面上的函数值都相等，注意这里只是假设，[公式]不一定符合这样的性质）[公式]。进一步写，有[公式]。故[公式]满足波动方程[公式]，可以写出其通解[公式]。于是，[公式]被称为三维波动方程的球对称解。
需要注意的是，一般来说，[公式]并不是球对称的，但可以先固定[公式]，然后考虑以[公式]为球心，[公式]为半径的球面上的平均值，这个平均值就是[公式]的函数。将其具体写出来，设这个球面为[公式]，则[公式]在此球面上的平均值为[公式]。取极限即得到[公式]。我们可以通过解一个微分方程来获得[公式]，但书中给出了一个更简单的方法，尽管看起来更像一种尝试性的推广，但结果是对的，而且这样类比来记也比较好记。
回忆一维波动方程定解问题的D'Alembert公式[公式]，它可以写为[公式]。如果引进区间上的平均值，则我们可以写[公式]。这个结果很容易类比到三维，即[公式]。其中[公式]。代入回去，得到[公式]。可以验证，这确实是[公式]的解。我们把[公式]称为[公式]的Poisson公式。
例子6
在[公式]中，取[公式]，求解定解问题[公式]。
直接用公式即可，利用对称性，立即得到[公式]，从而得到[公式]。□
七、二维波动方程的降维法
本节我们考虑二维波动方程的定解问题[公式]。我们求解思路是将其视为三维波动方程[公式]的退化情况。这里，可以将[公式]看作是一个三维问题，但[公式]与[公式]无关。于是我们只需在Poisson公式[公式]中消去[公式]，即设法将关于球面[公式]的积分转化为关于圆域[公式]的积分即可。
由于两个积分具有相同的形式，我们只以[公式]为例。首先注意到对称性，[公式]。因为[公式]与[公式]无关，故在一条竖线上的取值都是一样的，这样我们就可以很方便地将球面积分转化为圆域上的积分。
因为在这条竖线上恒有[公式]，故现在只需再对面积元做一个转换。我们有[公式]，其中[公式]是它们法线方向的夹角。根据几何关系容易求出[公式]。最终，这个积分就转化为[公式]。记[公式]，则写出[公式]的解为[公式]。
例子7
设[公式]，求解定解问题[公式]。
套公式就行，唯一的困难是需要计算积分[公式]。为此，令[公式]，变换的Jacobian行列式为[公式]，故得到[公式]。涉及到的计算细节较多，需要一些简单的基本功。
稍微做些说明：
等号[公式]中，相乘后有许多项消掉了，这是因为[公式]等函数在[公式]上的积分结果直接等于零，因此可以不必考虑；
等号[公式]中，使用了变量代换[公式]，由于[公式]从[公式]，故[公式]从[公式]；
等号[公式]中，使用了Wallis公式：[公式]。
最后，套公式即求得[公式]。□
B. 十九世纪的偏微分方程（五）
波动方程和退化波动方程
波动方程可能是最重要的一种偏微分方程，在三维空间的基本形式是 。18世纪已引入波动方程，并用球坐标表示了。19世纪发现了波动方程的新用途，特别是萌芽时期的弹性领域：包括各种形状的固体在不同的初始条件和边界条件下的振动，波在弹性体中的传播，以及声和光的传播问题。
变量可分离时，解波动方程的技巧类似傅里叶解热方程、或者拉梅用曲线坐标系表示位势方程。Mathieu用曲线坐标变量分离后解得波动方程是其中的典型。还有一类方法是把方程作为整体，第一个主要成果是关于论述初值问题的。泊松在1808-1819年间研究波动方程，得到了关于波u(x,y,z,t)的传播公式、
其中θ和Φ是普通球坐标，积分区域是以坐标为(x,y,z)的P点为中心，以at为半径的球Sat的表面。这个结果意味着，假如初始扰动是由边界为S的物体V发出，使Φ0和Φ1定义在V上，并在V外为0，那么初始扰动在V上被局部化了。这个公式告诉我们在V外任意点P(x,y,z)处波的传播情况，令d,D分别表示P到V上的点的最小距离和最大距离，当t<d/a时，积分为0，即从S扩展出来的波的波前还没有到达P，t=d/a时，球Sat刚接触S，从S出发的波刚到达P，t在d/a~D/a区间时，球Sat交割V，t=D/a时，波的尾缘通过P，最后t>D/a时，V在球Sat内部，初始扰动已经离开了P。波的前缘是中心在S，半径为at的一族球面的包络，区分了扰动已到达的点和尚未到达的点，波的后缘是一个曲面，区分了存在扰动的点和扰动已离开的点，由此可见在空间局部化的扰动在每一点P引起的效果仅持续有限时间。此外这个波有前缘和后缘，这个现象称为惠更斯原理。
黎曼在研究有限振幅声波传播时建立了解波动方程初值问题的另一个方法。他考虑如下二阶线性微分方程：
已知沿曲线Γ的u和u对法向的偏导数（即知道u对x,y的偏导数），要求在任意P点处的u。黎曼的方法是先找函数v（也称为黎曼函数或特征函数），使其满足共轭方程和其它条件。
在P点处黎曼引入x=ξ上的线段PP2和y=η上的线段PP1，将广义格林定理（二维情形）用于微分表示式L(u)，最后得到任意点P处的u值：
黎曼方法把原来关于u的初值问题变成关于v的初值问题（变成较容易求的），黎曼在他研究的物理问题中很容易找到v，但v的存在性一般不是由黎曼证明的。这个方法仅适用于二元波动方程（双曲方程），不能直接推广，如果推广到二个以上独立变量，那么黎曼函数在积分区域边界上变为奇异，积分发散，难以处理。这个方法后来得到了推广，但同时增加了复杂性。
稳态问题也推进了用其它方法解波动方程的进展，产生了简化的波动方程。波动方程形式上包含时间变量，比如对于简单谐波，假设u=w(x,y,z)e^(ikt)，代入波动方程则得到： ，称为退化波动方程或亥姆霍兹方程，表示所有调和的、声音的、弹性的、电磁学的波，别人找特殊积分就完事了，但亥姆霍兹(1821-1894)在研究一端开放管道内的空气振动时，给出了第一个关于这个方程解的普遍性结论。他关注传音问题，其中w是作谐振动气体的速度势，k是由空气弹性和振动频率确定的常数，λ是波长=2π/k，他用格林定理证明方程任一个在给定区域内的连续解可以表示为区域表面激发点的单层和双层效应，把e^(-ikr)/4πr作为格林定理中的一个函数，他得到区域内任一点P处的w：
19世纪的德国着名数学物理学家G.R.基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）用亥姆霍兹的工作求得波动方程处置问题的另一个解，把上式改写为：
令Φ(t)为u在时刻r时边界上任一点(x,y,z)处的值，f(r)是u对法向n的偏导，基尔霍夫证明：
即在P处的u就用u和u对n的偏导在较早时刻围绕P点的闭曲面上的值表出，这个结果称为声学的惠更斯原理，是泊松公式的推广。
之前提到黎曼用了稍微广义的格林定理，用到共轭微分方程的格林定理的完全推广也称为格林定理，由杜·布瓦一雷蒙(Du Bois-Reymond，1831-1889)和达布(Darboux,1842-1917)分别提出，二者都引用了黎曼1858/1859的论文。给定方程：
得到广义的格林定理： ，其中重积分展布于R的内部，单积分展布于R的边界，并得到M(v)和P，Q的表达式。其中M(v)是L(u)的共轭表达式，M(v)=0是共轭微分方程。
格林定理可以求某些偏微分方程的解，例如椭圆型方程总能写成形如L(u)的形式，由此可得共轭微分方程M(v)=0，解v在任意点(ξ,η)像对数那样变为无穷，性态等同于v=Ulogr+V，r是点(ξ,η)到(x,y)的距离，U,V在所考虑的区域R内连续，且U为标准化的，即U(ξ,η)=1。把(ξ,η)包围在一个圆内并剔出积分区域，当圆收缩到(ξ,η)时有
解得函数v称为格林函数，当我们知道v，以及边界给定u和u对n的偏导，u就可以表示为单积分。常常把v在R的边界上为0的条件附加到格林函数的定义中，格林定理的用法已发展到各种特殊情形和各种推广。