如何用两种方法证明绝对值不等式

‘壹’ 如何解含绝对值的不等式

绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：

（1）绝对值定义法；

（2）平方法；

（3）零点区域法。常见的形式有以下几种。

1、形如不等式：|x|<a(a>0)

利用绝对值的定义得不等式的解集为：-a<x<a

2、形如不等式：|x|>=a(a>0)

它的解集为：x<=-a或x>=a。

3、形如不等式|ax+b|<c(c>0)

它的解法是：先化为不等式组：-c<ax+b<c，再利用不等式的性质来得解集。

4、形如 |ax+b|>c(c>0)

它的解法是：先化为不等式组：ax+b>c或ax+b<-c，再利用不等式的性质求出原不等式的解集。

(1)如何用两种方法证明绝对值不等式扩展阅读：

等式的特殊性质有以下三种：

①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

③不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。

常用定理

①不等式F（x）< G（x）与不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x） 的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那么不等式F（x）<G（x）与不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。

‘贰’ 如何证明绝对值不等式成立

绝对值的意思是带绝对值符号的部分去去掉绝对值符号后这部分的值必须大于或等于0；
这个式子带有字母，就要分
1）a>3.5，b<3；
2）a>3.5，b>3；
3）a<3.5,b<3；
4）a<3.5，b》3；
四种情况进行讨论，再去掉绝对值符号运算。方程可化为：
|3+4/k||3k+4|=6
|(3+4/k)(3k+4)|=6
9k+24+16/k=6，或9k+24+16/k=-6
由9k+24+16/k=6得9k²+18k+16=0
该方程无实数根又由9k+24+16/k=-6得：
9k²+30k+16=0
3k+2=0或3k+8=0
所以，原方程的根为：k1=-3/2,k2=-8/3
(2)如何用两种方法证明绝对值不等式扩展阅读：
性质：
|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质：
1、|ab|
=
|a||b|
|a/b|
=
|a|/|b|
（b≠0）
2、|a|<|b|
可逆推出
|b|>|a|
||a|
-
|b||
≤
|a+b|
≤
|a|+|b|，当且仅当
ab≤0
时左边等号成立，ab≥0
时右边等号成立。
另外有：|a-b|
≤
|a|+|-b|
=
|a|+|-1|*|b|
=
|a|+|b|
|
|a|-|b|
|
≤
|a±b|
≤
|a|+|b|

‘叁’ 解绝对值不等式时，有几种常见的方法

一、 绝对值定义法

对于一些简单的，一侧为常数的含不等式绝对值，直接用绝对值定义即可，

1、如|x| < a在数轴上表示出来。利用数轴可将解集表示为−a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在数轴上表示出来，因此可得到解集为x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用绝对值性质化为不等式组−c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式组。

二、平方法

对于不等式两边都是绝对值时，可将不等式两边同时平方。

解不等式 |x+ 3| > |x− 1|将等式两边同时平方为(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之后解不等式即可，解得x > −1

三、零点分段法

对于不等式中含有有两个及以上绝对值，且含有常数项时，一般使用零点分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5

在数轴上可以看出，数轴可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三个区间，由此进行分类讨论。

当x < −1时，因为x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化为 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322．当−1 ≤x < 3时， 因为x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化为x + 1 − x + 3 > 5无解。

当 x ≥ 3时 因为x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化为x + 1 + x− 3 > 5解得x >72综上所述，不等式的解为x < −32或x >72。

(3)如何用两种方法证明绝对值不等式扩展阅读

1、实数的绝对值的概念

(1)|a|的几何意义

|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离.

(2)两个重要性质

①(ⅰ)|ab|=|a||b|

②|a|<|b|⇔a2<b2

(3)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点的距离.

(4)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离。

2、绝对值不等式定理

(1)定理：对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

(2)定理的另一种形式：对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.

绝对值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;

(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;

(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.

‘肆’ 绝对值不等式怎么证明

就是取+或-都成立,相当于是两个不等式，可通过平方的方法证明.

‘伍’ 含有绝对值的不等式怎么解

解含绝对值的不等式只有两种模型，它的解法都是由以下两个得来：
（1）|X|>1那么X>1或者X<-1; |X|>3那么X>3或者X<-3;
即）|X|>a那么X>a或者X<-a;(两根之外型)
(2)）|X|<1那么-1<X<1；|X|<3那么-3<X<3
即)）|X|<a那么-a<X<a；(两根之内型)
遇到这类不等式只需用对型把绝对值去掉即可：
如：|1-3X|＞4 我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之外型，则：1-3X>4或者1-3X<-4，从而又解一次不等式得解集为：X>5/3或者X<-1
又如：|1-3X|<2我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之内型
则：-2<1-3X<2从而又解一次不等式得解集为：-1/3<x<1

记忆：大于取两根之外,小于取两根之间

‘陆’ 绝对值不等式的证明

解绝对值不等式分情况讨论的目的就是去掉绝对值符号
只有一个绝对值时，比如：
| x-2 | > 4
那么我们要去绝对值符号，就要讨论 x-2 是正是负，讨论x - 2 的正负 即讨论 x 与 2 的大小关系
所以 (1)x < 2 时，原式为 2 - x > 4 解得x < -2 （x<2即是x-2<0）
(2)x ≥2 时，原式为 x - 2 > 4 解得 x > 6 （x ≥2 即是x-2≥0）
所以不等式解为 x < -2或 x > 6

当有2个绝对值时，比如：
| x - 3| + | 2x + 4| > 6
那么我们要去绝对值符号，就要讨论 x-3 和 2x + 4 是正是负，讨论 x-3 和 2x + 4 的正负，即讨论x 与3 、-2的大小关系 （x-3=0得到3，2x-4=0得到-2）
(1) x < -2时，……（x<-2,即 x-3 <0 , 2x + 4<0）
(2)-2 ≤ x ≤ 3时，……（-2 ≤ x ≤ 3，即x-3≥0 ，2x-4≤0）
(3) x > 3时，……（ x > 3，即x-3>0，2x-4>0）
更多的绝对值也一样，找到所有断点（使绝对值内的式子为0的点，x-3=0的3，2x-4=0的-2……）
然后谈论x与他们的关系（可以看成在数轴上列出这些点，x不断向右移动）
比如断点 x1、x2、x3、x4……
谈论：
(1) x < x1时
(2)x1≤x<x2时
(3)x2≤x<x3时
(4)x3≤x<x4时
……
断点处的等号比较随意，只要考虑到就行
就像上面讨论也可以是
(1) x ≤ x1时
(2)x1<x≤x2时
(3)x2<x≤x3时
(4)x3<x≤x4时
甚至
(1) x ≤ x1时
(2)x1<x<x2时
(3)x2≤x≤x3时
(4)x3<x<x4时
都没关系，只要讨论了x=x1、x2、x3、x4……的情况就行

‘柒’ 绝对值不等式证明

原式两边平方开根号 整理得 √<x^2+y^2+(-2|x||y|)>≤√<x^2+y^2+（±2xy）>≤√<x^2+y^2+(2|x||y|)> 要证不等号成立 即证 -2|x||y|≤±2xy≤2|x||y| 易知上不等式成立 所以原不等式也成立。

个实数的绝对值的几何意义为:在数轴上表示这个数的点与原点之间的距离。正数的绝对值等于它本身, 0的绝对值还是0, 负数的绝对值等于它的相反数，对于|a|，当a>0时，|a|=a，距离为正，此时表示a的点在原点右侧；当a=0时，|a|=0，距离为0，此时表示a的点即为原点。

当a<0时，|a|=-a，距离为负，此时表示a的点在原点左侧。

举例：|-2.5|指在数轴上-2.5与原点的距离，这个距离是2.5，所以-2.5的绝对值是-2.5。同样，指在数轴上表示2与原点的距离，这个距离是2，所以2的绝对值是2。